Produit de sinus

[invite9f29450d]

Bonsoir aux mathématiciens.

Je ne parviens pas a démontrer que:


sin(pi/m)*sin(2*pi/m)*sin(3*pi/m)...sin( (m-1)*pi/m ) = m/(2^(m-1)

[Il y a une indication, ils disent de remarquer que
x^m -1 =(x-1)*(x-y1)*(x-y2)*(x-y3)*....(x-ym-2) puis de diviser les 2 cotés par x-1 et de considerer la limite quand x tend vers 1.]

En passant par les complexes j'arrive a une expression qu'il faut démontrer:
(1-x)*(1-x^2)*(1-x^3) *...(1-x^(m-1))= m
avec x = exp(2*i*pi/m)


Mais je suis pas plus avancé.
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Ben si j'étais toi, je ferai ce qui est suggéré dans l'exercice. Si tu divises par x-1, et que tu passes à la limite x ->1, à droite tu n'as pas de problème et tu obtiens
(1- y)(1-y^2)... (1-y^{m-1}), avec y = exp( 2 i pi/m),
et à gauche tu obtiens m.

Maintenant, tu peux peut-être remarquer que
1 - exp(2 k i pi /m) = exp(i k pi/m) (exp(- i k pi/m) - exp(i k pi /m)) = - exp(i k pi/m) 2 i sin( k pi /m)....

Je te laisse finir.
__
rvz, bientôt dodo

[invite9f29450d]

Salut,

Ben si j'étais toi, je ferai ce qui est suggéré dans l'exercice. Si tu divises par x-1, et que tu passes à la limite x ->1, à droite tu n'as pas de problème et tu obtiens
(1- y)(1-y^2)... (1-y^{m-1}), avec y = exp( 2 i pi/m),
et à gauche tu obtiens m.

Maintenant, tu peux peut-être remarquer que
1 - exp(2 k i pi /m) = exp(i k pi/m) (exp(- i k pi/m) - exp(i k pi /m)) = - exp(i k pi/m) 2 i sin( k pi /m)....

Je te laisse finir.
__
rvz, bientôt dodo

Je te remercie pour ta réponse.
Ta remarque est bien utile mais je n'arrive pas a voir ce que viens faire ce passage a la limite et cette division par x-1 et donc comment on obtient m a gauche.

[inviteaf1870ed]

Pour le passage à la limite : considère la fonction f(x)=x^m; l'expression
lim x-->1 (x^m-1)/(x-1) te dit elle quelque chose ?

[A voir en vidéo sur Futura]