somme à l'aide

[invite1f924ded]

Bonsoir à tous,

J'ai un exercice de maths que je n'arrive pas du tout a commencer, voici l'énoncé:

Somme(de k=0 à n-1) sin[(2k+1)x]=(sin^2(nx))/sin(x)

Je ne sais pas par ou commencer pourriez vous m'aider

Merci d'avance

Mar310
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[Guillaume69]

Bonsoir,

Souvent dans ce genre de somme, il faut exprimer le sinus comme la partie imaginaire d'une exponentielle complexe.

As-tu essayé cette méthode ?

[Armen92]

Il suffit de considérer sin (2k+1)x comme la partie imaginaire de exp[i(2k+1)x] et de sommer la progression géométrique.

[invite1f924ded]

donc j'ai

Exp i[(2k+1)x]=cos[(2k+1)x]+isin[(2k+1)x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

Oui !!!!!!
Ensuite, on écrit exp[i(2k+1)x] = exp(i x)[exp(2x)]^k ; il reste alors à sommer une progression géométique 1+Z+Z^2+...+Z^(n-1). On recolle les morceaux, on prend la partie imaginaire et c'est gagné.

[Armen92]

Mille excuses : un "i" a sauté dans la deuxième exponentielle de droite ; il faut lire :
exp[i(2k+1)x] = exp(i x)[exp(2ix)]^k
Il reste alors à sommer une progression géométique 1+Z+Z^2+...+Z^(n-1). On recolle les morceaux, on prend la partie imaginaire et c'est gagné.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Sinon il y a plus astucieux. Remarque que

et somme sans sourciller cette jolie série où tout le monde se tue.

NB: Une telle astuce vient du fait que ta série représente le noyau de Dirichlet et a été étudié en long, en large et en travers. La méthode suggérée précédemment est de loin plus générale...

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rvz, vive les séries de Fourier

[breukin]

Euh...
C'est plutôt :

Ce qui conduit à :

[invite6b1e2c2e]

Oups pardon, je me suis emporté... Merci breukin.

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rvz

[invite1f924ded]

ok merci pour votre aide et bravo

Mar310