Question de logique

[invite15fac1ac]

Bonjour à tous

Est-il mathématiquement correct de dire
"Tous les humains qui savent voler ont 15 jambes"

En d'autres termes:
Suffit-il de ne pas pouvoir trouver de contre exemple pour déclarer une proposition vraie?

Merci d'avance
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[Médiat]

Est-il mathématiquement correct de dire
"Tous les humains qui savent voler ont 15 jambes"

En logique classique : oui.

En d'autres termes:
Suffit-il de ne pas pouvoir trouver de contre exemple pour déclarer une proposition vraie?

Non, ce n'est vrai que pour les propositions universelles (tous les ...) et encore il faut prouver qu'il n'y a pas de contre-exemple, par exemple l'ensemble vide vérifie toutes les propositions universelles (on est sur de ne pas trouver de contre-exemple).

[invite15fac1ac]

Merci pour cette reponse rapide

Donc tous les entiers naturels negatifs sont divisibles par 0?

[invite986312212]

en Anglais on dit que c'est "vacuously true" (videment vrai)

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Bonjour,

Suffit-il de ne pas pouvoir trouver de contre exemple pour déclarer une proposition vraie?

Non (comme l'a dit Médiat) ! Que dire de la phrase "tous les corbeaux sont noirs" ? Ce n'est pas parce qu'on n'a jamais trouvé ou vu de corbeau d'une autre couleur qu'ils sont tous exclusivement noirs !

Alors que pour démonter une théorie, il suffit d'un contre-exemple, pour la démontrer il faut des preuves.

Pour ce qui est de votre exemple, se pose la question des propriétés d'un ensemble vide : aucun humain ne sait (à ma connaissance) voler donc la définition de l'ensemble "Tous les humains qui savent voler" définit l'ensemble vide. A partir de là, on peut sans doute attribuer toute sorte de propriété à cet ensemble mais sans preuve, je le répète, peu importe qu'il n'existe aucun contre-exemple, rien n'est prouvé.

[Médiat]

Non (comme l'a dit Médiat) ! Que dire de la phrase "tous les corbeaux sont noirs" ? Ce n'est pas parce qu'on n'a jamais trouvé ou vu de corbeau d'une autre couleur qu'ils sont tous exclusivement noirs !

Je l'ai bien dit : il faut prouver qu'il n'y a pas de contre-exemple ; on a trouvé aucun contre-exemple à la conjecture de Goldbach, elle n'est pas démontrée pour autant.

Alors que pour démonter une théorie, il suffit d'un contre-exemple, pour la démontrer il faut des preuves.

Encore une fois ceci n'est valide que pour les propositions universelles, et dans le cas fini, exhiber tous les cas et montrer qu'il ne sont pas des contre-exemples suffit largement.

Pour ce qui est de votre exemple, se pose la question des propriétés d'un ensemble vide : aucun humain ne sait (à ma connaissance) voler donc la définition de l'ensemble "Tous les humains qui savent voler" définit l'ensemble vide. A partir de là, on peut sans doute attribuer toute sorte de propriété à cet ensemble mais sans preuve, je le répète, peu importe qu'il n'existe aucun contre-exemple, rien n'est prouvé.

Au contraire, tout est prouvé : l'ensemble vide vérifie toutes les propositions universelles !

[invitedb2255b0]

Dans l'expression il suffit que p soit faux pour que l'implication soit vrai.

De même que le seul moyen pour que l'implication soit fausse est que p soit vrai et que q soit faux.

[invite15fac1ac]

Au contraire, tout est prouvé : l'ensemble vide vérifie toutes les propositions universelles !

Donc "tous les entiers naturels negatifs sont divisibles par 0" est vraie?

[invite14e03d2a]

Donc "tous les entiers naturels negatifs sont divisibles par 0" est vraie?

Non. Car tous les entiers naturels strictement négatifs sont des contre-exemples.

[invite15fac1ac]

Non. Car tous les entiers naturels strictement négatifs sont des contre-exemples.

Ah, mais je croyais que pour l'ensemble vide toutes les propositions universelles etaient vraies?

[invite5150dbce]

Ah, mais je croyais que pour l'ensemble vide toutes les propositions universelles etaient vraies?

L'ensemble des entiers relatifs n'est pas vide

[Médiat]

Donc "tous les entiers naturels negatifs sont divisibles par 0" est vraie?

L'ensemble des entiers naturels négatifs n'est pas vide, il contient 0.

Mais, par exemple, la phrase "tous les entiers naturels strictement négatifs sont des carrés parfaits" est vrai.

[Médiat]

L'ensemble des entiers relatifs n'est pas vide

vc74 n'a pas parlé d'entiers relatifs.

Non. Car tous les entiers naturels strictement négatifs sont des contre-exemples.

Je suppose que tu as lu trop vite (confusion entiers naturels et entiers relatifs)

[Médiat]

Ah, mais je croyais que pour l'ensemble vide toutes les propositions universelles etaient vraies?

Et je le confirme, taladris et hhh86 font des confusions

[invite5150dbce]

Et je le confirme, taladris et hhh86 font des confusions

Désolé Médiat, j'ai effectivement lu trop vite

[invite14e03d2a]

Non. Car tous les entiers naturels strictement négatifs sont des contre-exemples.

oups

[invite15fac1ac]

OK merci à tous