Question de logique.

[invitedcd45209]

Bonjour,

Je viens de trouver ca sur internet:

Vous recevez un lettre de l'hopital en ces termes "Vous êtes récemment venu dans notre hôpital pour un test de dépistage d'une maladie rare qui touche en France une personne sur 10.000. Nous sommes au regret de vous annoncer que ce test, efficace à 99%,s'est révélé positif."

Quelle est selon vous la probabilité que vous soyez réellement malade?

J'ai aussi lu que la probabilité d'etre réellement malade est mois de 1%.

Quelqu'un me t'il m'éxpliquer.

Merci d'avance.
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[inviteb270cea4]

Salut.

La probabilité d'être réellement malade est de 99%.
D'une part le fait qu'une personne sur 10 000 soit malade ne veut pas dire que tu as, toi, 1 "chance" sur 10 000 d'être malade, cela dépend de nombreux facteurs qui font qu'au final tu es malade ou non.
Ensuite le test de depistage est efficace a 99% donc si il se révèle positif, alors tu as 99% de "chance" d'être malade. Et cela indépendament de la probabilité initiale d'être touché par la maladie.

Cyao tout le monde.

P.S. : Après on peut faire n'importe quoi avec des probabilités totalement dénuées de sens pour dire que, effectivement, tu as moins d'une chance sur 100 d'être malade. Mais ça ne me parait pas très rigoureux
P.S.2 : quelle chance tu as, mon premier message pour toi !!!

[Gwyddon]

Ensuite le test de depistage est efficace a 99% donc si il se révèle positif, alors tu as 99% de "chance" d'être malade.

C'est faux. Etre efficace signifie donner la bonne réponse, que ce soit positif ou négatif.

Donc être efficace à 99 % signifie qu'il y a une probabilité p=99/100 que le test te donne une réponse juste.


Ensuite, c'est une maladie rare donc on peut présumer que les risques de contagion sont négligeables. Alors on peut légitimement dire que p=1/10000 est la proba qu'une personne a d'être malade.

Donc pour finir, si on suppose les événements "test" et "maladie" indépendants, ça nous donne une proba de l'ordre de 0.0005 % d'être réellement malade.

[invité576543]

Donc pour finir, si on suppose les événements "test" et "maladie" indépendants, ça nous donne une proba de l'ordre de 0.0005 % d'être réellement malade.

Ce serait n'importe quoi comme test si le résultat du test et le fait d'être malade étaient indépendants!

Dente a parfaitement raison, rien à ajouter ou retrancher à sa réponse.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ce serait n'importe quoi comme test si le résultat du test et le fait d'être malade étaient indépendants!

Je suis d'accord, c'est une hypothèse bien forte.. Mais c'est un résultat que j'ai fourni avec démonstration juste et domaine de validité

Ceci dit

Dente a parfaitement raison, rien à ajouter ou retrancher à sa réponse.

Cordialement,

Non il a tort quand même, pour la raison que j'ai évoquée. Le calcul n'est pas simple du tout, et la justification qu'il fournit est fausse.

[inviteb270cea4]

Salut.

Le fait est que la "probabilité" 1/10000 d'être malade ne veut, concrètement, rien dire. Être malade ,ou non, dépend de facteurs bien précis qui font que le sujet sera touché ou non, quelque soit le nombre de malades dans un échantillon de population.

Ainsi, si un test fiable à 99% donne un résultat positif, alors seul la fiabilité du test est à prendre en compte, pas la pseudo probabilité d'être initialement touché par la maladie qui serait "nombre de malades dans un échantillon représentatif de population".

Pour finir, cela dépend de l'interprétation de "le test est fiable à 99%". Les faux positifs sont, pour moi, déjà considérés dans le 1% non fiable.
Gwyddon à raison en ne considerant pas la fiabilité du test mais la probabilité d'obtenir un résultat positif, ce qui est totalement différent.

Cya

[invité576543]

Pour finir, cela dépend de l'interprétation de "le test est fiable à 99%". Les faux positifs sont, pour moi, déjà considérés dans le 1% non fiable.

Pour moi c'est la même chose (du moins si on considère que la fiabilité est symétrique): 99% de fiabilité = 1% de faux positif.

Et la probabilité de faux positif est la probabilité de ne pas être malade CONDITIONNELLEMENT à "résultat du test positif".

Ici, on a 99% de probabilité d'être malade conditionnellement à "test positif" (c'est la définition de la fiabilité). Le test est positif, donc la probabilité d'être malade est 99%.

Gwyddon à raison en ne considerant pas la fiabilité du test mais la probabilité d'obtenir un résultat positif, ce qui est totalement différent.

Peut-être, mais ce n'est pas la question posée.

Cordialement,

[invitee087c147]

Salut,
de toute facon c'est facile à vérifier "expérimentalement", lorque les gens recoivent ce genre de lettre, la plupart sont atteints de la maladie, si on recense 1000 personnes qui recoivent cette lettre, je pense qu'il y aura 990 personnes environ (ou un nombre approchant, peut-être 950) qui seront vraiment atteints, ce qui valide ce que disait dente.

[Gwyddon]

Ok, tout est question d'interprétation. Si on prend la définition de la fiabilité telle que vous la donnez, je m'incline

[invitebf65f07b]

Ici, on a 99% de probabilité d'être malade conditionnellement à "test positif" (c'est la définition de la fiabilité).

es-tu sûr de cela? il ne me paraît pas plus absurde à priori de dire qu'un test efficace à 99% est un test qui donnera un résultat positif avec 99% de probabilité conditionnellement au fait que "le patient est malade".

Dans ce cas, et sans faire d'hypothèses d'indépendance, on retombe bien sur une probabilité de l'ordre de 1% d'être réellement malade en étant testé positif.

Cela n'a rien d'aberrant, mais illustre simplement le fait que 99% n'est pas une fiabilité suffisante, contrairement à ce que suggère l'intuition.

[invitebf65f07b]

je complète mon dernier post en anticipant sur les septiques...
voici donc des équations pour le bonheur de tous

on note m le fait d'être malade ; s le fait d'être sain ; t=p le fait que le test soit positif ; t=n le fait que le test soit négatif.
plutôt que le cas particulier proposé en exemple, on note
P(t=p|m) = 1-a , la proba d'être positif sachant qu'on est malade.
de la même manière (et parce que ça m'arrange ) on note
P(t=n|s) = 1-a , la proba d'être négatif sachant qu'on est sain.
enfin, on note
P(m) = b , la proba d'être malade.

a et b sont des valeurs faibles (dans l'exemple 10^-2 et 10^-4)

On souhaite calculer la proba P(m|t=p) (rq : il s'agit ici de proba conditionnelle dont on utilisera qqs formules classiques par la suite)

on a :
P(m|t=p) = P(t=p|m)*P(m)/P(t=p)
..................= (1-a) * b / P(t=p)
de plus :
P(t=p) = P(t=p|m)*P(m) + P(t=p|s)*P(s)
.............= (1-a)*b + a*(1-b)
d'où :
P(m|t=p) = (1-a) * b / [ (1-a)*b + a*(1-b) ]

ce qui donne en négligeant a et b devant 1 :
P(m|t=p) = b/(b+a)
..................= 1/(1 + a/b)

et on voit maintenant ce qu'il se passe : dans l'exemple a>>b, donc P(m|t=p) est faible. si l'on souhaite que P(m|t=p) soit grand, il faut à l'inverse que b>>a.

voili voilou

[yat]

Ainsi, si un test fiable à 99% donne un résultat positif, alors seul la fiabilité du test est à prendre en compte, pas la pseudo probabilité d'être initialement touché par la maladie qui serait "nombre de malades dans un échantillon représentatif de population".

Si on considère la définition de la fiabilité que toi et mmy donnez, cette phrase est fausse : en effet, pour arriver à cette définition, il faut tenir compte de la proportion de malades dans la population. Sans se baser sur cette information, il est impossible de déterminer la fiabilité du test : si on l'applique à une population dans laquelle il y a plus ou moins de malades, sa fiabilité ne sera pas la même.

Concrètement :

En France, la maladie touche une personne sur 10000. Sa fiabilité est de 99%, ce qui veut dire (selon vous) qu'un patient positif a 99% de chances d'être malade. On a donc 99 fois plus de vrais positifs que de faux positifs. Or pour une personne malade, il y a 9999 personnes saines. On aura donc statistiquement environ un faux positif pour un million de patients sains.

Au Canada, la maladie est beaucoup plus rare et touche une personne sur un million. Comme on a toujours un faux positif pour un million de patients sains (le test n'a pas changé), donc statistiquement sur un million de personnes, on a un malade et un faux positif. La fiabilité du test, sur cette population, tombe donc à environ 50%.

[invitebf65f07b]

je crois que la seule conclusion à tirer de cette histoire est que l'intuition première est sans doute notre pire ennemi quand on réfléchit au proba. le comportement le plus sensé est souvent d'écrire quelques lignes, quitte à simplifier le problème, pour se faire une idée de ce qui ce passe.

[invité576543]

Après recherche:

La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif si la condition sensée être vérifiée est remplie.

La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif si la condition n'est pas remplie.

La fiabilité n'est pas définie dans les textes que j'ai trouvé, et je reste sur la position que c'est lié à une probabilité conditionnelle dans l'autre sens.

Yat a parfaitement raison en ce que la fiabilité dépend de la prévalence, ce qui amène à préférer les indications de sensibilité et de spécificité.

Cordialement,

[invité576543]

Autre interprétation, la fiabilité est la répétitivité du test, à savoir la probabilité qu'il donne le même résultat quand il fait deux fois sur le même patient (e.g., par des labos différents).

Avec cette interprétation, il n'y a évidemment pas moyen d'en déduire quoi que soit sur être malade ou non...

Cordialement,

[invitebf65f07b]

et bien je crois qu'on a fait le tour...

pour mettre accord mon calcul et les définitions fournit par mmy, on peut dire que mon raisonnement part de l'interprétation que sensibilité et spécificité sont égales entre elles et ont pour valeur (1-a)