Fonction lipschitzienne

[invite0ae9db9b]

Bonjour,

J'ai besoin d'un petit peu d'aide.

On me donne une fonction f(x)= x³-2x
avec x Є R

On me demande de prouver que la fonction f est une fonction lipschitzienne.

Je ne sais pas comment m'y prendre, j'ai seulement une définition qui me dit que "f : I → R est lipschitzienne s'il existe λ>0 tel que, pour tout x, y Є I, on ait |f(x) - f(y)| ≤ λ|x-y|"


Comment puis-je m'en servir avec ma fonction f ? Dois-je me servir du fait que l'on m'a demandé précédemment de prouver la continuité et la continuité uniforme de la fonction ?
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[invite769a1844]

Salut,

elle n'est pas lipschitzienne, sa dérivée n'est pas bornée.

[invite0ae9db9b]

Merci, mais je prouve ça comment ?

[invite769a1844]

si est -lipschitzienne, alors on a quelque soit

.

Si de plus est dérivable, sa -lipschitzianité nous fournit la majoration

dès que .

En faisant tendre vers tu obtiens alors .

Ici est un polynôme de degré 2, donc un tel ne peut pas exister.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ae9db9b]

J'avais pas vu la définition de ce point de vue là, merci de votre aide.

Une dernière petite question :
Si on me demande si f est lipschitzienne mais cette fois si avec x Є [0;2], lors elle l'est ?

[invite769a1844]

oui, essaies de voir comment la dérivée de f peut te procurer cette information.

[invitec053041c]

autre indication: pense aux accroissements finis.

[God's Breath]

Si on me demande si f est lipschitzienne mais cette fois si avec x Є [0;2], lors elle l'est ?

On a, pour tout et tout , , donc .

En particulier, pour tout , avec non borné sur , et n'est pas lipschitzienne sur .

Par contre, si et appartiennent : , et est 14-lipschitzienne sur .

[invite0ae9db9b]

J'ai une dernière petite question si quelqu'un a 2min pour moi.

Je veux montrer que cette même fonction (f(x)=x³-2x) est uniformément continue sur R.

J'ai cherché à démontrer en appliquant la démonstration sur la fonction que j'ai appelé g(x)= f(x)/x = x²-y²

Est ce une bonne solution ?

[God's Breath]

Je suis au grand regret de t'annoncer que cette fonction n'est pas uniformément continue sur .

Je pose et , de telle sorte que .

Ainsi et , ce qui est incompatible avec l'uniforme continuité.

[invite0ae9db9b]

Merci beaucoup, mais en fait ma question était de savoir si elle l'était ou non. Mais cette réponse me convient parfaitement.

Merci encore.

[invite13a5989e]

Bonjour ,
j'ai besoin d'aide pour un DM je suis un peu bloquée, on me demande
Soit (X,d) un espace métrique et soit A inclus dans X, montrer que l application qui à x appartient à X associe :

d(x,A) = inf d(x,y) avec y qui apppartient à A

est 1-lipschitzienne,

je voudrai montrer que quelque soit x et y d_f (f(x),f(y)) est inferieur ou égal à dE(x'y) je ne vois pas comment , merci pour votre aide.