Fonction k-lipschitzienne?
Bonjour,
J'ai une fonction telle que lf(y)-f(x)l<k*ly3-x3l et je dois montrer qu'elle est uniformément continue.
J'aimerais montrer qu'elle est k-lipschitzienne mais je ne sais pas si <k*ly3-x3l implique que la fonction est est k-lipschitzienne ou s'il manque une condition...
Merci de votre aide!
ton type d'inégalité est fausse: si x=y...
à supposer qu'il s'agisse d'une inégalité large, alors f n'est pas nécessairement lipschitzienne: x -> x3 par exemple
Mais dans ce cas la, elle n'est pas uniformement continue sur R.
Ne serait on pas sur un compact, ou du moins sur un ensemble borné de R?
si c'est un compact, il n'y a alors qu'à montrer la continuité.
Effectivement on est bien sur un ensemble borné dans R, et x est évidemment différent de y.
Donc il suffit que je montre que la fonction est continue sur cet ensemble?
C'est bon je viens de me souvenir du théoréme de Heine qui dit que si la fonction est continue sur un segment alors elle est uniformément continue sur ce segment!!
Reste plus qu'à montrer qu'elle est continue et pour l'instant je rame!
factorise x3-y3 par x-y.Envoyé par Eogan
Reste plus qu'à montrer qu'elle est continue et pour l'instant je rame!
lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*ly²+x²+xyl
et donc la fonction est C-lipschitzienne et elle est uniformément continue sur le segment.
C'est ça?
Dit comme ça C n'est pas une constante. Mais il suffit de justifier le fait que x²+xy+y² est borné sur ton ensemble et de le majorer.
Si tu veux mon avis, k ne dois pas dépendre de x ou y (ici c'est C qui joue le role de k)lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*ly²+x²+xyl
et donc la fonction est C-lipschitzienne et elle est uniformément continue sur le segment.
C'est ça?
Par contre, si tu as :
lf(y)-f(x)l<k*|y²+x²+xy|*ly-xl , tu peux écrire que
lf(y)-f(x)l<k*ly-xl si tu arrives à démontrer que |y²+x²+xy| <1
Cela dit, je n'ai pas vérifié tes calculs et je ne connais pas les conditions sur x et y.
Dans l'exercice l'ensemble en question se nomme [a,b]
avec x et y appartiennent à [a,b] et x différent de y.
Donc ly²+x²+xyl est majoré par lb²+b²+b²l donc
lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*l3b²l
Si a=-1 et b=0, ta majoration ne va pas fonctionner très fort ...
Il n'est pas nécessaire de trouver un majorant explicite.
Par contre, tu as une fonction continue sur un compact, donc ...
désolé j'ai oublié de préciser que a et b sont strictements positifs!
donc f admet une borne supérieure (et une borne inférieure) qui sont atteintes!
on peut donc la majorée et c'est réglé.
Mais en sachant que a et b sont strictements positifs, est ce que mon explication d'avant était suffisante?
Oui, ça marche.
Merci beaucoup pour toute votre aide!
A présent on me demande de montrer sans plus d'hypothése que g(x)=f(x) - kx3 est strictement monotone sur [a,b].
Apparement il suffit de montrer que f(x) est monotone sur [a,b]
J'ai essayé d'utiliser lf(y)-f(x)l/ly-xl<C pour montrer une inégalité sur la dérivé mais les valeurs absolues bloquent tout.
Si vous avez des idées...
Il suffit d'étudier de le signe de g(x) - g(y)
alors, g(x)-g(y)=f(x)-f(y) -k(x3-y3)
on sait que f(x)-f(y) différent de k(x3-y3)
donc soit g(x)<0 soit g(x)>0
donct g est srictement monotone.
right?
faudra revoir le g(x)>0 ou g(x)<0
Il est passé où le y ?
Tu ne peux pas utiliser le théorème de Heine, puisque tu n'es pas sur un compact, mais sur un ensemble borné.
Ici, si tu ton ensemble est borné, alors nécessairement que x^2+xy+y^2 l'est aussi par une constante C, et donc ta fonction est en fait Lipschitzienne, donc uniformément continue. (il suffit de trouver une relation simple entre C, eta et epsilon)
A+
Ca ça doit être parce que Eogan ne nous avait pas donné toutes les infos du premier coup. Mais il a ajouté ceci:
Donc on est bien sur un compact.
Merci de la précision, j'avais lu en diagonale, et j'avais uniquement vu que l'ensemble était borné...
