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Fonction k-lipschitzienne?



  1. #1
    Eogan

    Question Fonction k-lipschitzienne?


    ------

    Bonjour,
    J'ai une fonction telle que lf(y)-f(x)l<k*ly3-x3l et je dois montrer qu'elle est uniformément continue.
    J'aimerais montrer qu'elle est k-lipschitzienne mais je ne sais pas si <k*ly3-x3l implique que la fonction est est k-lipschitzienne ou s'il manque une condition...
    Merci de votre aide!

    -----

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  3. #2
    indian58

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    ton type d'inégalité est fausse: si x=y...
    à supposer qu'il s'agisse d'une inégalité large, alors f n'est pas nécessairement lipschitzienne: x -> x3 par exemple

  4. #3
    Quinto

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Mais dans ce cas la, elle n'est pas uniformement continue sur R.
    Ne serait on pas sur un compact, ou du moins sur un ensemble born&#233; de R?

  5. #4
    indian58

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    si c'est un compact, il n'y a alors qu'à montrer la continuité.

  6. #5
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Effectivement on est bien sur un ensemble borné dans R, et x est évidemment différent de y.
    Donc il suffit que je montre que la fonction est continue sur cet ensemble?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    C'est bon je viens de me souvenir du théoréme de Heine qui dit que si la fonction est continue sur un segment alors elle est uniformément continue sur ce segment!!
    Reste plus qu'à montrer qu'elle est continue et pour l'instant je rame!

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  10. #7
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Citation Envoyé par Eogan
    Reste plus qu'à montrer qu'elle est continue et pour l'instant je rame!
    factorise x3-y3 par x-y.

  11. #8
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*ly²+x²+xyl
    et donc la fonction est C-lipschitzienne et elle est uniformément continue sur le segment.
    C'est ça?

  12. #9
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Citation Envoyé par Eogan
    lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*ly²+x²+xyl
    Dit comme ça C n'est pas une constante. Mais il suffit de justifier le fait que x²+xy+y² est borné sur ton ensemble et de le majorer.

  13. #10
    invite43219988

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*ly²+x²+xyl
    et donc la fonction est C-lipschitzienne et elle est uniformément continue sur le segment.
    C'est ça?
    Si tu veux mon avis, k ne dois pas dépendre de x ou y (ici c'est C qui joue le role de k)
    Par contre, si tu as :
    lf(y)-f(x)l<k*|y²+x²+xy|*ly-xl , tu peux écrire que
    lf(y)-f(x)l<k*ly-xl si tu arrives à démontrer que |y²+x²+xy| <1
    Cela dit, je n'ai pas vérifié tes calculs et je ne connais pas les conditions sur x et y.

  14. #11
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Dans l'exercice l'ensemble en question se nomme [a,b]
    avec x et y appartiennent à [a,b] et x différent de y.
    Donc ly²+x²+xyl est majoré par lb²+b²+b²l donc
    lf(y)-f(x)l<C*ly-xl avec C=k*l3b²l

  15. #12
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Citation Envoyé par Eogan
    avec x et y appartiennent à [a,b] et x différent de y.
    Donc ly²+x²+xyl est majoré par lb²+b²+b²l
    Si a=-1 et b=0, ta majoration ne va pas fonctionner très fort ...
    Il n'est pas nécessaire de trouver un majorant explicite.
    Par contre, tu as une fonction continue sur un compact, donc ...

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  17. #13
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    désolé j'ai oublié de préciser que a et b sont strictements positifs!
    Citation Envoyé par matthias
    Par contre, tu as une fonction continue sur un compact, donc ...
    donc f admet une borne supérieure (et une borne inférieure) qui sont atteintes!
    on peut donc la majorée et c'est réglé.
    Mais en sachant que a et b sont strictements positifs, est ce que mon explication d'avant était suffisante?

  18. #14
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Citation Envoyé par Eogan
    Mais en sachant que a et b sont strictements positifs, est ce que mon explication d'avant était suffisante?
    Oui, ça marche.

  19. #15
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Merci beaucoup pour toute votre aide!

  20. #16
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    A présent on me demande de montrer sans plus d'hypothése que g(x)=f(x) - kx3 est strictement monotone sur [a,b].
    Apparement il suffit de montrer que f(x) est monotone sur [a,b]
    J'ai essayé d'utiliser lf(y)-f(x)l/ly-xl<C pour montrer une inégalité sur la dérivé mais les valeurs absolues bloquent tout.
    Si vous avez des idées...

  21. #17
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Il suffit d'étudier de le signe de g(x) - g(y)

  22. #18
    Eogan

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    alors, g(x)-g(y)=f(x)-f(y) -k(x3-y3)
    on sait que f(x)-f(y) différent de k(x3-y3)
    donc soit g(x)<0 soit g(x)>0
    donct g est srictement monotone.
    right?

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  24. #19
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    faudra revoir le g(x)>0 ou g(x)<0
    Il est passé où le y ?

  25. #20
    Quinto

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Tu ne peux pas utiliser le th&#233;or&#232;me de Heine, puisque tu n'es pas sur un compact, mais sur un ensemble born&#233;.

    Ici, si tu ton ensemble est born&#233;, alors n&#233;cessairement que x^2+xy+y^2 l'est aussi par une constante C, et donc ta fonction est en fait Lipschitzienne, donc uniform&#233;ment continue. (il suffit de trouver une relation simple entre C, eta et epsilon)
    A+

  26. #21
    matthias

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Citation Envoyé par Quinto
    Tu ne peux pas utiliser le théorème de Heine, puisque tu n'es pas sur un compact, mais sur un ensemble borné.
    Ca ça doit être parce que Eogan ne nous avait pas donné toutes les infos du premier coup. Mais il a ajouté ceci:
    Citation Envoyé par Eogan
    Dans l'exercice l'ensemble en question se nomme [a,b]
    Donc on est bien sur un compact.

  27. #22
    Quinto

    Re : Fonction k-lipschitzienne?

    Merci de la pr&#233;cision, j'avais lu en diagonale, et j'avais uniquement vu que l'ensemble &#233;tait born&#233;...

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