Application 1-lipschitzienne et suite récurrente => oulala!

[invite43bf475e]

Bonsoir!

Alors je vous présente le problème :
On considère une chère fonction f 1-lipschitzienne f:[0,1]->[0,1], et g(x)=(x+f(x))/2.
On doit montrer que toute suite (x_n)_n vérifiant, x_(n+1)=g(x_n) pour tout n, converge vers un point fixe de f...
...
...
Bon la suite est déjà bornée, c'est bien, je veux montrer qu'elle est monotone, donc signe de g(x)-x = signe de f(x)-x et la, je ne sais pas comment faire intervenir le |f(x)-f(y)|<|x-y|, tout en sachant que le point fixe l=g(l) est atteint pour l=f(l)

l'analyse c'est pas mon fort! Auriez vous un début de piste svp!

Merci!
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[invitea41c27c1]

Ca ne m'étonne pas que tu ais des problèmes : si tu prends f(x)=x, la suite x_n ne converge pas !!!!!!!
La bonne notion c'est f k-lipchitz avec k strictement inférieur à 1

[inviteaf1870ed]

c'est le cas ici : l'inégalité est stricte....

[invite43bf475e]

La bonne notion c'est f k-lipchitz avec k strictement inférieur à 1

Dsl! mais d'après l'énoncé c'est bien 1-lipsch...!
M'enfin, je vois pas le raisonnement qu'il faut faire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43bf475e]

La bonne notion c'est f k-lipchitz avec k strictement inférieur à 1

Dsl! mais d'après l'énoncé c'est bien 1-lipsch...!
M'enfin, je vois pas le raisonnement qu'il faut faire...

[invitec317278e]

On peut essayer ceci :

1-montrer que f admet bien un point fixe (pas dur), dont je note y l'abscisse
2-montrer que si converge, elle converge vers ce point fixe.
3-montrer que est bornée (ce que tu as apparemment déjà fait).
4-Montrer que est de signe constant (essaie une récurrence, c'est là qu'il faudra se servir de l'hypothèse que f est lipschitzienne)
5-En déduire, toujours grâce au fait que f est lipschitzienne, que est de signe constant.

La relation qui servira est :


Bon, j'ai pas testé en détail, mais à vue d'œil, ça a pas l'air de trop mal marcher...à voir.