[PSI] Deux questions pour bien démarrer des exos type Centrale...

[invite1e5c24bd]

Bonjour à tous,

J'aimerais votre avis sur les deux points suivants qui constituent le début de deux exercices d'oraux type Centrale en PSI.

1. On veut montrer que le produit des "p parmi n", p allant de 1 à n peut décrire sous la forme du produit des "p puissance alpha", p allant de 1 à n et alpha fonction dépendante de n et p ...

J'ai un peu tourné ça dans tous les sens mais je ne vois pas trop comment définir cette fonction alpha, ce qui constitue en fait le but de cette question.

2. Si n>1, On considère l'équation : x-n*ln(1+x/(n+1))=0.

On veut montrer que cette équation admet une unique solution Xn dans ]-2;-1[. Ce qui me parait le plus logique est d'étudier la fonction même si, ayant essayé, cela s'avère assez complexe. Pensez-vous qu'il s'agisse de la meilleure solution ?

Merci d'avance pour vos conseils et désolé pour la non utilisation du LaTex ... Va falloir que je m'y mette un jour !

Cordialement,
H.Poincaré
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[Médiat]

2. Si n>1, On considère l'équation : x-n*ln(1+x/(n+1))=0.

On veut montrer que cette équation admet une unique solution Xn dans ]-2;-1[. Ce qui me parait le plus logique est d'étudier la fonction même si, ayant essayé, cela s'avère assez complexe. Pensez-vous qu'il s'agisse de la meilleure solution ?

As-tu calculé la dérivée de

et qu'as-tu trouvé (elle est simple) ?

[invitec317278e]

c'est ceci qu'il faut calculer...
si l'on réarrange les termes au numérateur, voici le numérateur que l'on obtient :



on peut faire un truc du meme genre au dénominateur.

[invitec317278e]

On peut aussi procéder par récurrence :
supposant qu'au rang n, le produit des k parmi n s'écrive comme produit de puissance.

Je note le produit des k parmi n...
On a, déjà :
Or, comme est un produit de puissance, en est un aussi, que l'on obtient en :
-multipliant par
-enlevant 1 à chaque exposant des p, pour p allant de 1 à n.

L'initialisation est quant à elle triviale.


PS : pas besoin d'exhiber la fonction alpha pour affirmer qu'elle existe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e5c24bd]

Merci pour ces quelques conseils. pour l'expression de alpha je trouve 2p-n-1.

Cette expression semble utile pour la question suivante.

Il s'agit de la recherche d'un équivalent "simple" de
An = somme((2p-n-1)*ln(p)), p variant de 1 à n.

L'énoncé indique qu'il semble judicieux de se servir d'intégrales.

J'ai coupé la somme en deux : 2p*ln(p) d'une part et (n+1)*ln(p) d'autre part. Sachant que p supérieur ou égal à un, ces deux fonctions sont croissantes d'où l'encadrement à partir d'intégrales. Cependant je trouve une grosse expression difficilement simplifiable. Voyez-vous un autre chemin pour aboutir ?

Cordialement