Besoin d'aide pour deux exos sur les complexes.

invite0c5534f5 · 27/01/2008, 14h00

Salut,

1)j'ai démontré que (1+i)^6=-8i
2)On considère l'équation (E): z²=-8i
a)je dois déduire de 1) une solution de (E)
Donc $\text{[math]}$ Je dois laissé ça comme ça ou je dois développer?
Et est-ce qu'à la place de la racine carrée j'aurais pu diviser la puissance par deux?

b)(E) possède une autre solution; l'écrire sous forme algébrique.
$\text{[math]}$ je ne crois pas que ce soit cela puisque je ne peux pas le mettre sous forme algébrique...

3)Déduire de 1) une solution de (E'):z^3=-8i
$\text{[math]}$ faut-il que je développe?
Et faut-il que je l'écrive avec des racines cubiques plutôt que de diviser les exposants?

4)On considère que le point A d'affixe 2i et la rotation r de centre O et d'angles $\text{[math]}$
a)Déterminer l'affixe de b du point B, image de A par r, ainsi que l'affixe c du point C, image de B par r.
Ca facile.
b)Montrer que b et c sont solution de (E')
C'est aussi c'est facile (il suffit bien de montrer que b^3=c^3=-8i?)

5)a)Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct représenter les points A,B et C
b)Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions.
Ben c'est un triangle car on a trois points...
Ca me parait un peu bête comme question, ou alors il faut prouver qu'il est aussi isocèle? Dans ce cas comment faire?
c)Déterminer le centre de gravité de cette figure.
Il faut juste que je trace les médianes ou il faut aussi prouver la chose?

Deuxième exercice:
Soit A le point d'affixe 3i. On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par: $\text{[math]}$

1)a)Développer (z-7i)(z+i)
b)Montrer que f admet deux point invariants B et C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.
J'ai trouvé mais je voulais savoir si ma rédaction est correcte:
Il existe des points invariants si et seulement si:
$\text{[math]}$
Donc il existe deux points invariants
Et après je choisi au hasard un affixe pour B et C parmi ces deux là?
(Je suis allez vite dans le calcul car ma question porte sur la rédaction)

2) On apelle $\text{[math]}$ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque distinct de $\text{[math]}$ de B et de C, soit M' son image par f.
a)Justifier que l'affixe z de M vérifie $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un nombre réel
J'ai un problème pour cette question:
(j'ai pris affixe de C: z_C=-i et affixe de B: z_B=7i)
On a donc $\text{[math]}$ ce qui ne fonctionne pas.
Donc je suppose que l'affixe du milieu de [BC] n'est pas $\text{[math]}$ ...

Un peu d'aide serait le bienvenue.
Merci.

invite8bc5b16d · 27/01/2008, 14h36

Salut,

Salut,

1)j'ai démontré que (1+i)^6=-8i
2)On considère l'équation (E): z²=-8i
a)je dois déduire de 1) une solution de (E)
Donc $\text{[math]}$ Je dois laissé ça comme ça ou je dois développer?
Et est-ce qu'à la place de la racine carrée j'aurais pu diviser la puissance par deux?

b)(E) possède une autre solution; l'écrire sous forme algébrique.
$\text{[math]}$ je ne crois pas que ce soit cela puisque je ne peux pas le mettre sous forme algébrique...

En ce qui concerne le développement je pense que ca vaut le coup car le résultat obtenu alors est assez simple.
Sinon es-tu sûr que c'est la seule solution ? (si je te demande de résoudre z²=9, combien y a-t-il de solution ?)
Sinon je ne sais pas comment est fait votre cours, mais on évite généralement d'écrire une racine d'un nombre complexe

3)Déduire de 1) une solution de (E'):z^3=-8i
$\text{[math]}$ faut-il que je développe?
Et faut-il que je l'écrive avec des racines cubiques plutôt que de diviser les exposants?

Pareil je te conseille de développer.
Diviser les exposants convient parfaitement

4)On considère que le point A d'affixe 2i et la rotation r de centre O et d'angles $\text{[math]}$
a)Déterminer l'affixe de b du point B, image de A par r, ainsi que l'affixe c du point C, image de B par r.
Ca facile.
b)Montrer que b et c sont solution de (E')
C'est aussi c'est facile (il suffit bien de montrer que b^3=c^3=-8i?)

oui pour ta dernière remarque.

5)a)Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct représenter les points A,B et C
b)Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions.
Ben c'est un triangle car on a trois points...
Ca me parait un peu bête comme question, ou alors il faut prouver qu'il est aussi isocèle? Dans ce cas comment faire?

il est même un peu plus qu'isocèle

regarde la valeur des 3 angles du triangle obtenu

c)Déterminer le centre de gravité de cette figure.
Il faut juste que je trace les médianes ou il faut aussi prouver la chose?

Tu peux toujours tracer les médianes, mais je pense qu'une petite détermination par le calcul ne fait pas de mal.
En plus, dans certains triangles, le centre de gravité n'est pas seulement le point d'intersection des 3 médianes...peut-être qu'en prenant un autre point particulier du triangle confondu dans ce cas avec le centre de gravité tu pourras trouver beaucoup plus rapidement le résultat...........

Deuxième exercice:
Soit A le point d'affixe 3i. On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par: $\text{[math]}$

1)a)Développer (z-7i)(z+i)
b)Montrer que f admet deux point invariants B et C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.
J'ai trouvé mais je voulais savoir si ma rédaction est correcte:
Il existe des points invariants si et seulement si:
$\text{[math]}$
Donc il existe deux points invariants
Et après je choisi au hasard un affixe pour B et C parmi ces deux là?
(Je suis allez vite dans le calcul car ma question porte sur la rédaction)

La rédaction est bonne. Après tu choisis au hasard quelles affixes correspondent à B et à C.

2) On apelle $\text{[math]}$ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque distinct de $\text{[math]}$ de B et de C, soit M' son image par f.
a)Justifier que l'affixe z de M vérifie $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un nombre réel
J'ai un problème pour cette question:
(j'ai pris affixe de C: z_C=-i et affixe de B: z_B=7i)
On a donc $\text{[math]}$ ce qui ne fonctionne pas.
Donc je suppose que l'affixe du milieu de [BC] n'est pas $\text{[math]}$ ...

Un peu d'aide serait le bienvenue.
Merci.

Un indice : Le milieu de [BC] est l'isobarycentre de B et de C, alors que z_B-z_C est l'affixe du vecteur CB

invite0c5534f5 · 27/01/2008, 15h41

Envoyé par alien49

Salut,
En ce qui concerne le développement je pense que ca vaut le coup car le résultat obtenu alors est assez simple.
Sinon es-tu sûr que c'est la seule solution ? (si je te demande de résoudre z²=9, combien y a-t-il de solution ?)

Oups j'ai oublié qu'un polynôme du second degré complexe admet deux solution donc l'une est la conjuguée de l'autre.
donc l'autre solution est z=-2-2i

Envoyé par alien49

Sinon je ne sais pas comment est fait votre cours, mais on évite généralement d'écrire une racine d'un nombre complexe

Ok

Envoyé par alien49

il est même un peu plus qu'isocèle

Effectivement

Envoyé par alien49

regarde la valeur des 3 angles du triangle obtenu

Pour les angles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ je trouve -2pi/3
Mais pour l'angle $\text{[math]}$ j'ai un truc bizarre:
$\text{[math]}$
J'ai un module de $\text{[math]}$ et donc ça mes donne des cosinus et sinus de l'angle bizarre...

Envoyé par alien49

Tu peux toujours tracer les médianes, mais je pense qu'une petite détermination par le calcul ne fait pas de mal.

Comment faire?

Envoyé par alien49

En plus, dans certains triangles, le centre de gravité n'est pas seulement le point d'intersection des 3 médianes...peut-être qu'en prenant un autre point particulier du triangle confondu dans ce cas avec le centre de gravité tu pourras trouver beaucoup plus rapidement le résultat...........

Ca je le savais pas, quel triangles par exemple?

Envoyé par alien49

Un indice : Le milieu de [BC] est l'isobarycentre de B et de C, alors que z_B-z_C est l'affixe du vecteur CB

Arg c'est vieux les barycentres, je vais chercher dans mon cours.

invite0c5534f5 · 27/01/2008, 17h52

J'ai trouvé pour l'affixe de z:
c'est $\text{[math]}$ je dois dire pourquoi?

b)Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de $\text{[math]}$ et en déduire que M' appartient aussi à $\text{[math]}$ .
J'ai trouvé $\text{[math]}$ je suppose que c'est pas bon puisque -4<0...
Je sais pas pourquoi y a ce moins.

c)Démontrer que $\text{[math]}$ et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique de M'
Je trouve des trucs bizarre, y a une astuce?

3)On considère un cercle de centre A et de rayon r>0 (heu pourquoi c'est précisé positif?

). Déterminer l'image de ce cercle par f.
L'image de ce cercle est défini par l'équation $\text{[math]}$ c'est juste?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0c5534f5 · 27/01/2008, 19h54

Personne ?

invite8bc5b16d · 27/01/2008, 20h26

Oups j'ai oublié qu'un polynôme du second degré complexe admet deux solution donc l'une est la conjuguée de l'autre.
donc l'autre solution est z=-2-2i

l'énoncé exact est : un polynôme du second degré à coefficient réels qui admet une racine complexe admet alors également son conjugué comme racine.
Donc ta solution de marche pas car 8i c'est pas vraiment un réel lol...mais par contre un indice : (-1)² = 1...

Pour les angles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ je trouve -2pi/3
Mais pour l'angle $\text{[math]}$ j'ai un truc bizarre:
$\text{[math]}$
J'ai un module de $\text{[math]}$ et donc ça mes donne des cosinus et sinus de l'angle bizarre...

Ici il suffit de calcler la valeur des angles sans tenir compte du signe, il y a donc plus simple que de passer par les angles vectoriels.
Pour étudier l'angle BÂC par exemple, regarde ce que tu peux dire des angles BÂO et OÂC, en n'oubliant pas que tu as des informations sur les triangles BAO et CAO du fait de la construction des points A,B,C par rotation.
Le même raisonnement s'applique pour les autres angles....ca devrait éviter de trouver des cosinus et sinus bizarres

Comment faire?
Ca je le savais pas, quel triangles par exemple?

Pour les triangles équilatéraux, que peut-on dire des médianes, des hauteurs, des médiatrices et des bissectrices ?
Dans ce problème, les informations les plus simples à obtenir étant sur les angles, sur quels types de droites va-t-on essayer de raisonner en premier ? (ca tombe bien en plus avec la question précédente on a déjà toutes les informations nécessaires

)

J'ai trouvé pour l'affixe de z:
c'est je dois dire pourquoi?

ben oui c'est toujours mieux d'expliquer comment tu trouves un résultat. Par contre pas besoin d'en faire un roman. On peut se contenter par exemple de dire que M se trouve sur un cercle de rayon ___ centré au point ___ d'où on déduit l'expression de z.

b)Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de et en déduire que M' appartient aussi à .
J'ai trouvé je suppose que c'est pas bon puisque -4<0...
Je sais pas pourquoi y a ce moins.

A mon avis tu as dû faire une erreur de calcul dans la simplification de z'....
Pour savoir quel résultat tu dois trouver, aide-toi de la question suivante qui te donne directement la formule simplifié de z' en fonction de z.
Mais le - n'est pas gênant : essaye de le transformer à l'aide d'exponentielle complexe, que tu pourras regrouper avec celle déjà présente pour avoir quelque chose de la forme z' = 3i+4exp(i*thêta'), qui est bien l'expression d'une affixe d'un point appartenant au cercle considéré.

en déduire, en la justifiant, une construction géométrique de M'

tout se joue sur les propriétés géométrique d'un conjugué et d'un opposé

3)On considère un cercle de centre A et de rayon r>0 (heu pourquoi c'est précisé positif? ). Déterminer l'image de ce cercle par f.
L'image de ce cercle est défini par l'équation c'est juste?

Pourquoi c'est précisé positif ? tout simplement pour en être bien sûr lol.
Sinon oui à tout point du cercle tu associes son image par f. Mais pour déterminer un cercle, tu n'as pas besoin de connaître tous ses points : il te suffit d'avoir son centre et son rayon...
Donc ici il suffit d'avoir l'image du centre et l'image d'un autre point qui te permettra de calculer le rayon du cercle image

invite0c5534f5 · 27/01/2008, 21h40

Envoyé par alien49

l'énoncé exact est : un polynôme du second degré à coefficient réels qui admet une racine complexe admet alors également son conjugué comme racine.
Donc ta solution de marche pas car 8i c'est pas vraiment un réel lol...mais par contre un indice : (-1)² = 1...

Heu je vois pas du tout...

Envoyé par alien49

Ici il suffit de calcler la valeur des angles sans tenir compte du signe, il y a donc plus simple que de passer par les angles vectoriels.
Pour étudier l'angle BÂC par exemple, regarde ce que tu peux dire des angles BÂO et OÂC, en n'oubliant pas que tu as des informations sur les triangles BAO et CAO du fait de la construction des points A,B,C par rotation.
Le même raisonnement s'applique pour les autres angles....ca devrait éviter de trouver des cosinus et sinus bizarres

Comme B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle 2pi/3 alors BÔA=2pi/3 Donc BÂO=pi/2-pi/3=pi/6. De même AÔC=2pi/3 Donc OÂC=pi/6
Donc BÂc=pi/6+pi/6=pi/3
De même pour les angles CBA et BCA.
Donc le triangles est équilatéral.

Envoyé par alien49

Pour les triangles équilatéraux, que peut-on dire des médianes, des hauteurs, des médiatrices et des bissectrices ?

confonduent

Envoyé par alien49

Dans ce problème, les informations les plus simples à obtenir étant sur les angles, sur quels types de droites va-t-on essayer de raisonner en premier ? (ca tombe bien en plus avec la question précédente on a déjà toutes les informations nécessaires

)

les bissectrices?

Envoyé par alien49

ben oui c'est toujours mieux d'expliquer comment tu trouves un résultat. Par contre pas besoin d'en faire un roman. On peut se contenter par exemple de dire que M se trouve sur un cercle de rayon ___ centré au point ___ d'où on déduit l'expression de z.

Car M se trouve sur le cercle de rayon BC et de centre le milieu de [BC]

Envoyé par alien49

A mon avis tu as dû faire une erreur de calcul dans la simplification de z'....
Pour savoir quel résultat tu dois trouver, aide-toi de la question suivante qui te donne directement la formule simplifié de z' en fonction de z.
Mais le - n'est pas gênant : essaye de le transformer à l'aide d'exponentielle complexe, que tu pourras regrouper avec celle déjà présente pour avoir quelque chose de la forme z' = 3i+4exp(i*thêta'), qui est bien l'expression d'une affixe d'un point appartenant au cercle considéré.

J'ai refais le calcul et je trouve encore un autre truc...
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Envoyé par alien49

tout se joue sur les propriétés géométrique d'un conjugué et d'un opposé

mais pour $\text{[math]}$ y a une astuce?

Envoyé par alien49

Pourquoi c'est précisé positif ? tout simplement pour en être bien sûr lol.
Sinon oui à tout point du cercle tu associes son image par f. Mais pour déterminer un cercle, tu n'as pas besoin de connaître tous ses points : il te suffit d'avoir son centre et son rayon...
Donc ici il suffit d'avoir l'image du centre et l'image d'un autre point qui te permettra de calculer le rayon du cercle image

Mais le point A n'a pas d'image par f

invite8bc5b16d · 27/01/2008, 22h20

Heu je vois pas du tout...

Comme pour x²=9 on a x=3 ou x=-3, ici on a (1+i)³ et -(1+i)³

Comme B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle 2pi/3 alors BÔA=2pi/3 Donc BÂO=pi/2-pi/3=pi/6. De même AÔC=2pi/3 Donc OÂC=pi/6
Donc BÂc=pi/6+pi/6=pi/3
De même pour les angles CBA et BCA.
reDonc le triangles est équilatéral.

voila

confonduent

effectivement

les bissectrices?

oui.
Quelle est la bissectrice de BÂC, connaissant les valeurs des angles BÂO et OÂC ?
Idem pour les autres bissectrices.

Car M se trouve sur le cercle de rayon BC et de centre le milieu de [BC]

rayon BC/2 !

J'ai refais le calcul et je trouve encore un autre truc...
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

c'est la bonne réponse !

mais pour $\text{[math]}$ y a une astuce?

ben il suffit de prendre l'opposé du conjugué de z, à vrai dire je vois pas vraiment le problème....le conjugué de i c'est -i, le conjugué de exp(i*thêta) c'est exp(-i*thêta)...

Mais le point A n'a pas d'image par f

c'est vrai j'avais pas fais attention ! lol
sinon j'ai vérifié l'expression que tu as trouvée dans l'autre post est juste. Elle peut aussi s'écrire sous la forme
z' = 3i+16/r * exp(i(Pi-thêta))

C'est donc un cercle de centre ___ et de rayon ___

invite0c5534f5 · 27/01/2008, 22h42

Envoyé par alien49

Comme pour x²=9 on a x=3 ou x=-3, ici on a (1+i)³ et -(1+i)³

Ah oui, donc la question b) ne sert à rien.
En répondant à la a) on aurait pu trouver les deux.

Envoyé par alien49

oui.
Quelle est la bissectrice de BÂC, connaissant les valeurs des angles BÂO et OÂC ?
Idem pour les autres bissectrices.

BÂO=OÂC Donc la bissectrice de BÂC est (OA)
Par un raisonnement identique on arrive à: (OB) est la bissectrice de CBA et (OC) est la bissectrice de ACB.
On remarque que les trois bissectrices ont un point commun qui est le centre de gravité. Il s'agit de l'origine du repère.

Envoyé par alien49

rayon BC/2 !

Heu oui très juste

Envoyé par alien49

c'est la bonne réponse !

Mais alors M' n'appartient pas à $\text{[math]}$

Envoyé par alien49

ben il suffit de prendre l'opposé du conjugué de z, à vrai dire je vois pas vraiment le problème....le conjugué de i c'est -i, le conjugué de exp(i*thêta) c'est exp(-i*thêta)...

Mais il faut le mettre sous forme algébrique pour avoir son conjugué.
Et comme il y a thêta on peut pas.

Envoyé par alien49

c'est vrai j'avais pas fais attention ! lol
sinon j'ai vérifié l'expression que tu as trouvée dans l'autre post est juste. Elle peut aussi s'écrire sous la forme
z' = 3i+16/r * exp(i(Pi-thêta))

C'est donc un cercle de centre ___ et de rayon ___

cercle de centre A et de rayon 16/r.
Mais comment t'as fait pour arriver à cette écriture?

invite0c5534f5 · 28/01/2008, 15h31

C'est bon.
On a fait la correction, merci de m'avoir aidé.

Besoin d'aide pour deux exos sur les complexes.

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