recollement

[invite07dd2471]

Bonjour,

j'ai un petit doute sur une question. Lorsqu'on prolonge par continuité une fonction qui n'est pas définie en un point a et que l'on veut étudier la dérivabilité de la fonction ainsi obtenue, doit-on étudier la limite à droite et à gauche en a du taux de variation ou alors peut-on regarder directement la limite à droite et à gauche de la fonction dérivée ?

par exemple si je considère une fonction f(x) définie sur IR* par f(x)=xsin(1/x). Je la prolonge par continuité en posant f(0)=0. et pour montrer qu'elle n'est pas dérivable en 0, dois-je étudier la limite en 0- et 0+ de sin(1/x) - (1/x)cos(1/x) qui coïncide avec la fonction f' sur IR*, ou alors étudier plutôt la limite de
?

Techniquement cela revient au même, et je sais que la deuxième méthode est rigoureuse mais peut-on en dire autant de la première ?

Merci.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Techniquement cela revient au même, et je sais que la deuxième méthode est rigoureuse mais peut-on en dire autant de la première ?

Non, la première méthode ne permet pas de montrer qu'une fonction est dérivable en un point. Par exemple pour la fonction définie par et pour ça ne marche pas. En tout point distinct de l'origine ça dérivée est nulle et donc

mais n'est pas continue à l'origine donc a fortiori elle n'y est pas dérivable.

Par contre définir par

est légal si l'on sait que est continue en 0.

[invite07dd2471]

oui mais je parlais d'une fonction qui est continue au point où l'on voudrait qu'elle soit dérivable.. par exemple la fonction que j'ai donné est bien continue en 0 en posant f(0)=0.. je sais qu'elle ne sera pas dérivable mais pour cela il vaut mieux que j'utilise le taux de variation pour le montrer c'est ça ?

[inviteaf48d29f]

Vous avez le droit de le faire. Mais c'est loin d'être trivial et vous avez bien raison de vous poser la question.
C'est le théorème de la "limite de la dérivée" qui vous le permet. Sa démonstration fait appel à l'égalité des accroissements finis. En tout cas voici son énoncé (restreint) :

Soit I est un intervalle de R et a un élément de I (à vérifier mais il faut peut-être que a soit un point intérieur).
Soit f continue sur I et dérivable sur I\{a}.
Alors si f'(x) admet une limite l (finie ou infinie) en a :


Dans le cas où l est fini f est dérivable en a avec f'(a)=l.

P.S : C'est effectivement une aide appréciable pour la rédaction souvent un peu lourde pour justifier de la régularité d'une fonction définie prolongée. Mais si on prend ce raccourcis, il vaut mieux le justifier correctement, on ne vous pardonnera pas un manque de rigueur la dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07dd2471]

merci beaucoup !