arctan

[invite5c34746f]

bonjour

j'ai a prouvé que cette affirmation est vraie ou fausse :

L'équation différentielle y'=arctan(y) admet une infinité de solutions maximales.

La notion de solution maximale m'est, par ailleurs, encore pas très claire.

merci
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[inviteaf48d29f]

Une solution est maximale si elle ne peut pas être prolongée sur un intervalle plus grand.
Le principal problème de l'énoncé n'est pas là. C'est surtout pour évitez que si vous trouvez une solution f qui marche sur R vous puissiez dire : "Puisque f marche sur R, la restriction à f sur [0;1] marche aussi donc on a une deuxième solution". Dans ces conditions une seule solution permettrait d'en construire une infinité, c'est trop facile .

Le fait que l'équation différentielle soit à variables séparables devrait bien permettre de montrer qu'elle admet des solutions. Ce serait bien le diable que ce ne soit pas le cas.

[invite5c34746f]

Que veux-tu dire par "elle ne peut pas être prolongée sur un intervalle plus grand." ? J'ai du mal a comprendre qu'une solution puisse se prolonger. C'est vraiment le mot maximal qui me gene ici

je sais qu'une primitive de arctan est de la forme F(x) = x . arctan(x) - . ln(x2 + 1)
Donc en ajoutant une constante réelle k on a les primitives donc l'equa diff admet une infinité de solution

[inviteaf48d29f]

Non non, ça ne fonctionne pas. Vous ne cherchez pas une primitive de arctan.
Par exemple si vous prenez votre fonction F(x)=x*arctan(x)-(1/2)*ln(1+x²)
Vous aurez F'(x)=arctan(x) mais ce que vous cherchez c'est F'(x)=arctan(F(x))

En l'occurrence vous n'avez absolument pas arctan(x)=arctan(x*arctan(x)-(1/2)*ln(1+x²))

Ils ne vous demandent pas de trouver des solutions, ils vous demandent de montrer qu'il en existe une infinité. En général, quand la question est posé ainsi, c'est qu'on ne peut pas les expliciter.

Pour ce qui est des solutions maximale. Si on prend une équation différentielle, a priori on cherche des fonctions qui vérifient l'équation sur des partie de R.
En effet c'est pas toujours facile de résoudre directement sur R tout entier, alors on commence par chercher une solution sur ]0;+∞[. Ensuite on en cherche une sur ]-∞;0[ et enfin on essai de faire un raccord en 0 pour avoir une seule solution sur R tout entier.
Les deux premières fonctions étaient formellement des solutions de l'équation différentielle, mais quand on y regarde de plus près elles ne sont rien d'autre que des restriction de la 3ème plus globale.
Une solution est maximale si elle ne peut pas être prolongée en une fonction plus "longue" qui soit encore solution.

Je pense que vous vous montez la tête pour un détail, la vrai difficulté du problème n'est pas là. L'existence et l'infinité des solutions est plus ardues, vous avez essayé de voir ce que ça donnait en séparant les variables ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c34746f]

D'accord mais je ne vois toujours pas comment justifier l'affirmation...
Peut-on appliquer le théorème de Cauchy Lipschitz ici ? Je trouve les conditions d'applications très peu intuitives.

[invitec317278e]

A toi de voir : que dit le théorème de Cauchy Lipschitz ? ses hypothèses sont-elles vérifiées ?