Bonjour,
Soit une application définie par:
F: R->R
f : x->une fonction polynôme
Peut-on prouver que cette application est Injective en utilisant le fait qu'elle est strictement monotone et continu? Ou alors ce théorème ne marche uniquement que dans des parties de R?
Dernière questions, est ce quelqu'un aurait un site expliquant quelques méthodes pour prouver qu'une fonction est injective,surjective,bijective s'il vous plait?
Merci de vos réponses
Oui vous pouvez utiliser le théorème, enfin sous réserve bien sûr que votre fonction polynômiale soit effectivement strictement monotone. C'est relativement rare les polynômes monotones sur R tout entier.
Ce théorème peut s'appliquer pour toute partie de R (R tout entier aussi).
En fait il fonctionne même si la fonction n'est pas continue, mais l'étude de la monotonie stricte est alors plus ardue car on ne peut pas faire appel à la dérivée.
Par exemple la fonction inverse (x->1/x) a sa dérivée toujours négative, donc elle décroit strictement sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[, mais certainement pas sur R tout entier. L'inverse de -1 est plus petit que l'inverse de 1.
Remarquez que la fonction inverse est tout de même injective sur R tout entier, mais ce n'est pas pour les mêmes raisons
Allez, je m'offre le luxe d'une petite démonstration. Toute fonction d'une partie de R vers R strictement monotone est injective.
Soient X une partie deet f:X->
Soient
si x>y alors f(x)>f(y) et si x<y alors f(x)<f(y) donc f(x)=f(y) si et seulement si x=y.
D'où l'injectivité.
Ça se généralise même sans problème très loin au delà de
Je suis en revanche désolé, je ne connais pas de site qui pourrait vous aider.
Hum d'accord
C'est gentil!
Cordialement
