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Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme



  1. #1
    cypher_2

    Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme


    ------

    Bonjour, hier soir je me suis lancé dans un exercice dont l'ennoncé est :

    Soit
    1) Vérifier que et sont deux racines et factoriser par

    Arrivé là je me dis que pour factoriser un polynome en connaissant une racine de ce dernier on peut appliquer la méthode de Horner, mais le problème c'est que ce dernier ne fonctionne qu'avec une racine à la fois. Donc j'étais bloqué. J'ai décidé de factoriser le polynome initial par la méthode d'Horner avec 3 et avec 1 et voir les résultats.

    Donc je trouve ( en passant les détails de calcul )
    Pour racine = 1 :



    Pour racine = 3 :



    Et on remarque que pour les deux cas, le deuxième facteur obtenu a pour racine évidente soit 1 soit 3, donc il suffit de refactoriser par la méthode de Horner pour trouver



    Donc ma question est de savoir, si c'est un coup de chance de tomber, après factorisation avec une des racine du polynome initial, sur un facteur dont la racine est la deuxième racine du polynome initial ? Est-ce une règle générale ?

    Sinon comment factoriser un polynome en connaissant ces deux racines ?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    dimacom

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    bonjour,
    pourquoi n'utilises-tu pas la division euclidienne?

  4. #3
    Ledescat

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Bonjour.

    Citation Envoyé par cypher_2 Voir le message

    Donc ma question est de savoir, si c'est un coup de chance de tomber, après factorisation avec une des racine du polynome initial, sur un facteur dont la racine est la deuxième racine du polynome initial ? Est-ce une règle générale ?

    Et non, ça n'est pas un coup de chance ! Heureusement que l'on tombe sur les mêmes racines évidentes !
    Dans tous les cas, ton polynôme initial s'annule en 1 et 3.
    Donc tu es sûr et certain qu'il peut s'écrire: f(x)=(x-1)(x-3)(ax²+bx+c)

    Dans ton premier cas, le polynôme restant est mon (x-3)(ax²+bx+c)
    Dans ton second cas, le polynôme restant est mon (x-1)(ax²+bx+c)


    Sinon comment factoriser un polynome en connaissant ces deux racines ?
    Tu cherches a,b,c tels que:



    Tu prends ton courage à 2 mains tu développes tout, puis tu identifies les coefficients des termes de même degré.

    François


    EDIT:
    pourquoi n'utilises-tu pas la division euclidienne?
    Parceque c'est pas vraiment au programme de lycée...
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    GalaxieA440

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    nous on a vu rapidement la méthode de la div euclidienne, c'est vrai que c'est dommage que ce ne soit pas au programme de lycée, parceque vraiment sur certains polynôme ça te change la vie....

  6. #5
    dimacom

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    peut être ce site peut te servir
    http://membres.lycos.fr/emauvais/idm/EquMetHor.htm
    et bonne chance

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Merci pour vos réponses,
    au passage sur le site où j'ai appris la méthode de Horner, la méthode de la division euclidienne était aussi indiquée. Je l'ai donc apprise en même temps et c'est vrai qu'elle sert vraiment tout en restant je trouve très simple.

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  10. #7
    FonKy-

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    vous rigolez la , vous pinailler sur la division euclidienne qui se voit en TS spé math alors que la méthode de horner on ne fait que l'énoncé dans le cours de sup et sans trop étudier comment on y parvient à mon souvenir, donc je considere que je l'ai jamais vu =)

    FonKy-

  11. #8
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Pourtant la méthode de Horner est mise dans le programme de 1ère sur le site où je l'ai apprise, au même titre que la division euclidienne d'ailleur ) et puis l'explication n'est vraiment pas compliquée à retenir et à comprendre.

  12. #9
    Ledescat

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    A mon avis ça 'est pas la méthode de Horner, ou juste une dérive simplifiée.
    Je viens de regarder sur wiki, et Horner c'est pas joli joli .
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Bah je sais pas trop ce que c'est la méthode que j'ai apprise, mais elle s'ennonce un peu comme ça :

    Si

    Donc si ce polynome a pour racine alors il peut être factorisé comme ceci

    L'explication de la méthode se fait comme cela : on développe puis on factorise pour trouver des égalités de coefficient entre qui sont : ( je passe le dévellopement / facto )



    Puis une sorte de " schéma" se met en place pour tous les coefficients qui suivent et qui se résume par :



    Et enfin pour
    on a :


    Voila j'espère que vous avez compris car j'ai essayé de faire de tête d'après mes souvenirs. La méthode préconise de faire avec un tableau mais avec ces égalités je trouve que le tableaux ne sert pas à grand chose.

  14. #11
    Ledescat

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Ah oui donc Horner a juste voulu donner son nom à la méthode d'identification des coefficients , pas bien malin .
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    FonKy-

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Pour moi horner c'était transformer un polynome en x(x(x(x(x ...

    exemple:

    devient

    FonKy-

    nb: pour info ca sert a rendre plus performant le calcul informatique

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  17. #13
    Ledescat

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    Pour moi horner c'était transformer un polynome en x(x(x(x(x ...

    exemple:

    devient

    FonKy-

    nb: pour info ca sert a rendre plus performant le calcul informatique


    Oui c'est vrai ça me parle plus.
    Cogito ergo sum.

  18. #14
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Voila le site en question : http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc1/polyalpha.php

    Cliquez sur l'icone à gauche de " La méthode dite de Horner "
    Comme il est dit sur ce site, la méthode de Horner revient à "automatiser" la méthode par identification des coefficients.

    Enfin on va pas s'atarder la dessus

    Merci pour votre aide.

    EDIT: enfait il y a une erreur dans le lien, il faut d'abord se rendre dans le chapitre "Racines et factorisation"

  19. #15
    macros

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    bonjour,

    j'ai essayé de factoriser ce polynome

    f(x) = 3x^3-9x²-18x+24

    en utilisant la division euclidienne et en prenant pr racine évidente x = -1
    j'ai effectué la division euclidienne et j'arrive à

    f(x) = (x+1)(3x²-12x-6)+30

    seulement j'aimerai arriver à la forme factorisée ultime de ce polynome càd :

    f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)

    comment dois-je m'y prendre ?
    merci

    M.
    Ist Newtons Gravitätlichkeit natürliches Gesetz ?

  20. #16
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Je peux t'expliquer mais avec la méthode de Horner

  21. #17
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Bon enfait avec la division euclidienne :

    Commences avec la racine évidente

    Donc

    Tu divises donc
    Tu vas alors trouver au résultat
    Donc

    Maintenant il te suffit juste de remarquer quelle est la racine évidente de (c'est pas un coup de chance ^^) et tu refais la division euclidienne pour factoriser .

    Voila.

  22. #18
    macros

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par cypher_2 Voir le message
    Commences avec la racine évidente
    mais là c'est un coup de chance non ?
    M.
    Ist Newtons Gravitätlichkeit natürliches Gesetz ?

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  24. #19
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par macros Voir le message
    seulement j'aimerai arriver à la forme factorisée ultime de ce polynome càd :

    f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)
    M.
    A partir de la forme ultime tu peux normalement déduire les racines du polynome.
    Mais logiquement tu peux partir de n'importe laquelle.

    Mais d'après moi -1 n'est pas racine du polynome donc il fallait en trouver une autre.

    Cordialement.

  25. #20
    Ledescat

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par macros Voir le message
    bonjour,

    j'ai essayé de factoriser ce polynome

    f(x) = 3x^3-9x²-18x+24

    en utilisant la division euclidienne et en prenant pr racine évidente x = -1
    j'ai effectué la division euclidienne et j'arrive à

    f(x) = (x+1)(3x²-12x-6)+30

    seulement j'aimerai arriver à la forme factorisée ultime de ce polynome càd :

    f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)

    comment dois-je m'y prendre ?
    merci

    M.
    Bonsoir.
    Déjà (-1) n'est pas racine de ce polynôme.
    Donc heureusement que t'arrives à une forme P=(x+1)Q+30
    Sinon ça voudrait dire que finalement, -1 était racine (à devenir fou ).
    En revanche, 1 est racine évidente, donc si tu fais la division euclidienne de P par (x-1), c'est-à-dire chercher les polynômes (Q,R) tq P=(x-1)Q+R, et bien (heureusement), R sera nul.
    Et ensuite tu t'occuperas de Q et ainsi de suite...


    Citation Envoyé par cypher_2
    A partir de la forme ultime tu peux normalement déduire les racines du polynome.
    Mais logiquement tu peux partir de n'importe laquelle.
    Oui, et heureusement .

    Cdlt.
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    macros

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Déjà (-1) n'est pas racine de ce polynôme.
    c'est exact, juste une petite inattention de ma part...
    merci bcp pour cette explication !

    bye
    M.
    Ist Newtons Gravitätlichkeit natürliches Gesetz ?

  27. #22
    vibraphone

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Juste une petite remarque, tu as tenté de faire l'exercie à l'envers !! En fait on peut factoriser par (x-1)(x-3) car on a prouvé préalablement que 1 et 3 étaient les racines de ce polynome !
    Mais bon c'est normale, il t manque encore une petite année (vu ton âge) pour faire ce genre d'exercices.

  28. #23
    Nox

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par FonKy- Voir le message
    Pour moi horner c'était transformer un polynome en x(x(x(x(x ...

    exemple:

    devient

    FonKy-

    nb: pour info ca sert a rendre plus performant le calcul informatique
    Bonjour !

    Tout a fait d'accord ! pour moi Horner c'est ca et vu seulement en sup ...

    Cordialement

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  29. #24
    macros

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    non, non, je n'ai pas tenté de faire l'exercice à l'envers.
    je partais bel et bien du polynome

    f(x) = 3x^3 - 9x² - 18x + 24

    et je voulais arriver à f(x) = 3(x-2)(x-1)(x-4)

    mais je suis parti avec une mauvaise racine (-1) : c'est ça quand on oublie de vérifer...
    J'ai dc refait l'exercice et j'arrive au résultat souhaité

    Citation Envoyé par vibraphone Voir le message
    Mais bon c'est normale, il t manque encore une petite année (vu ton âge) pour faire ce genre d'exercices.
    c'est vrai, je viens juste d'avoir mon bac
    Ist Newtons Gravitätlichkeit natürliches Gesetz ?

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  31. #25
    Ledescat

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Citation Envoyé par Nox Voir le message

    Tout a fait d'accord ! pour moi Horner c'est ca et vu seulement en sup ...
    Et encore...
    (on l'a entre-aperçu au tableau avant que la brosse ne fasse son inexorable et irréversible travail de sabotage...)
    Cogito ergo sum.

  32. #26
    vibraphone

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Non, Marcos, en fait je parlais à Cypher_2 (j'ai dû louper une page). Désolé.

  33. #27
    cypher_2

    Re : Méthode de Horner - Factorisation d'un polynôme

    Euh ... je lui ai expliqué comment factoriser en connaissant les racines d'un polynome. Où ais-je fait l'exercice à l'envers ? Parce que bon, factoriser le polynome pour connaitre les racines de ce dernier ( le probable inverse que tu indique ) revient à factoriser le polynome sans connaitre ses racines afin de les connaitre. Et là je crois que c'est un peu dur non ?

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