Factorisation d'un polynome dans R[X]

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 17h39

Est ce que quelqu'un de plus compéten de moi sur le sujet pourrait m'indiquer comment factoriser P(X)=(X^n) + 1 dans R[X].

Merci beaucoup

**DSCH** · 05/11/2007, 17h47

Une manière simple est de factoriser d'abord dans C[X], ce qui revient à chercher les racines n-ièmes de -1. Puis, en regroupant certains facteurs deux par deux (s'il y a une racine non réelle, son conjugué est aussi racine)…

invite02ff2428 · 05/11/2007, 17h49

à vous.

Je suis impressionée par tant d'apptitudes.

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 17h56

ok merci je vois unn peu mieux le truc la

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**DSCH** · 05/11/2007, 18h03

Pour y voir plus clair, ce peut être une bonne idée de commencer par quelques exemples, du genre n=3 et n=4. Cela permet en passant de voir que la situation est légèrement différente selon que n est pair ou impair.

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 18h10

en fait le truc qui me fait peur c'est qui a n solutions!! comment on fait pour les trouver vu que n est infini??

**DSCH** · 05/11/2007, 18h15

Envoyé par Jack the dripper

en fait le truc qui me fait peur c'est qui a n solutions!! comment on fait pour les trouver vu que n est infini??

Un nombre n'est pas infini ! Ici, n est quelconque mais fini. Mais c'est vrai que ce n'est pas facile à écrire proprement avec n quelconque, et c'est pourquoi je te conseille de regarder quelques exemples avant d'attaquer le cas général.

Pour le cas général, saurais-tu écrire la factorisation dans C[X] pour commencer ?

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 18h46

sa donne exp i(((2k+1))pi)/n) ou k decri [0;n-1]

d'ou (X^n)+1=produit (k=0 a n-1) de (X-exp...)

c'est après que je suis perdu

**DSCH** · 05/11/2007, 18h59

Ok, tu es bien parti. En clair, le terme $\text{[math]}$ prend les valeurs $\text{[math]}$ ,... , $\text{[math]}$ .

Maintenant, on a $\text{[math]}$ , de sorte que $\text{[math]}$ . De même, $\text{[math]}$ , de sorte que $\text{[math]}$ , etc. C'est ainsi que tu vas pouvoir associer tes facteurs deux par deux, par exemple tu vas regrouper $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ce qui va te donner le produit $\text{[math]}$ , qui a le bon goût de donner un polynôme à coefficients réels après développement. Maintenant, il te reste à essayer d'écrire tout ça proprement, en distinguant deux cas selon que n est pair ou impair (dans le cas impair, il restera un terme au milieu associé à aucun autre, pour $\text{[math]}$ ). Bon courage !

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 19h18

sa c'est ok mais le truc que je capte pas c'est que k prends les valeurs de 0 a n-1 il y aura donc n exp différentes soit n/2 regroupement de binomes.Comment tous les trouver??

**DSCH** · 05/11/2007, 19h33

Envoyé par Jack the dripper

sa c'est ok mais le truc que je capte pas c'est que k prends les valeurs de 0 a n-1 il y aura donc n exp différentes soit n/2 regroupement de binomes.Comment tous les trouver??

Et bien, tu auras un produit dans ta formule finale, du genre produit pour k variant entre 0 et n/2 dans le cas où k est pair, ou entre 0 et (n-3)/2 dans le cas où k est impair… Tu ne peux pas avoir une formule plus explicite si la valeur de n n'est pas précisée.

**DSCH** · 05/11/2007, 19h42

Bon, puisqu'on a presque terminé, je te donne les réponses que j'ai obtenues.

Pour $\text{[math]}$ pair, on a

$\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ impair, on a

$\text{[math]}$ .

En espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul !

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 19h46

n/2 -1 et n-3/2 il vienne de ou?

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 19h48

explique moi juste comment t'en arrive a là en fait stp.Il faut que je le comprenne parce que c'est hyper important.

**DSCH** · 05/11/2007, 19h59

Et bien au départ (quand tu restes avec les exponentielles complexes), $\text{[math]}$ varie entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et le terme $\text{[math]}$ prend les valeurs $\text{[math]}$ ,... , $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ valeurs différentes en tout.

Dans le cas où $\text{[math]}$ est pair, tu vas conserver la première moitié de ces valeurs, et les regrouper avec l'autre moitié. Bref, l'indice $\text{[math]}$ va prendre $\text{[math]}$ valeurs différentes, en partant de $\text{[math]}$ , ce qui fait aller jusqu'à $\text{[math]}$ .

Dans le cas où $\text{[math]}$ est impair, lorsque $\text{[math]}$ varie entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il passe par une valeur centrale qui est $\text{[math]}$ . C'est en vérité pour cette valeur que tu obtiens le facteur $\text{[math]}$ . Tu regroupes tous les facteurs d'avant, pour $\text{[math]}$ variant donc de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , avec un facteur associé qui vient après.

Voilà, pour y voir plus clair, tu peux essayer de voir ce que ça donne avec de petites valeurs de $\text{[math]}$ ; j'avoue que ce n'est pas évident sinon.

invitef5b5a18a · 05/11/2007, 20h12

pour les pair c'est ok mais pour les impairs je vois pas comment avec k=n-1/2on obtient exp(2k+1)pi/n =1??

je sais je suis un peu lourd...

**DSCH** · 05/11/2007, 20h25

Y a pas de mal, c'est juste qu'on obtient, pour cette valeur de k, $\text{[math]}$ et non +1…

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