limites, continuité

[invite340f0c11]

bonjour,
je bloque pour la deuxieme partie de mon exo :

1) rappeler la valeur de lim quand x tend vers 0 de exp(x)-1 / X ça j'ai trouvé c'est 1

mais aprés je n'arrive pas à faire la deuxieme question, je pense qu'il faut utiliser peut etre le théoreme de la bijection mais je n'y arrive pas :

2) Puis justifier qu'il existe un nombre a>0 ( on demande simplement de prouver son existence et non de calculer sa valeur) tel que pour tout x de ]-a,a[, 1+0.8x<exp(x)<1+1.2x


Merci par avance de votre aide
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[thepasboss]

Bonjour,

est tu sur de ne pas t'être trompé en recopiant ? car écrit tel quel, c'est faux.

[S321]

Non non, c'est tout à fait juste, excepté peut-être quelques parenthèses.

Vous devez trouver un voisinage de 0 dans lequel :

en enlevant 1 et en divisant par 0.8 (inégalité de gauche) ou par 1.2 (inégalité de droite) ça revient à montrer :


Vous venez de montrer juste avant que tend vers 1 quand x tend vers 0, par définition même de la limite vous avez votre résultat. Si f(x) est proche de 1 quand x proche de 0 il existe a>0 tel que quand |x|<a, |f(x)-1|<0.2 (on prend 0.2 dans ce cas là, on peut choisir ce qu'on veut).

[invite340f0c11]

j'ai pas compris pourquoi avez vous enlevé les x dans votre deuxime expression ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

hum hum

l'exponentielle est dérivable en 0, de dérivée 1.

exp(x) = 1 + x + o(x), donc exp(x) - 1 - 0.8x = 0.2x + o(x) qui va être négatif pour x proche de zéro et négatif...

donc on va avoir exp(x) <= 1 + 0.8x sur ]-a,0[ pour a>0 et suffisamment petit.

[invite340f0c11]

je suis vraiment désolée mais je ne comprends pas lol ( je suis très nulle en maths)
c'est quoi o(x) ?

[thepasboss]

non non rien c'était pour S321

es-tu vraiment sur d'avoir bien écrit ton énoncé ?

[invite340f0c11]

oui je viens de verifier....après le prof c'est peut etre trompé... j'ai juste oublier la parenthese au tout debut... c'est tout le numérateur divisé par x

mais sinon le reste de l'enoncé est correct ...

[thepasboss]

le problème est que la deuxième question te demande de démontrer quelque chose de faux, le sens des inégalités change quand x est négatif.

[S321]

Oui, effectivement, erreur stupide de ma part (et peut-être même de la part de ton prof aussi ^^), sur x négatif quand j'ai divisé par x il fallait que je change le sens de l'inégalité.

Le résultat est donc effectivement faux, mais il faut que tu le démontre. La démonstration de Thepasboss est tout à fait correcte, mais absolument pas de ton niveau. Pour la culture le "o(x)" est un opérateur de négligeabilité, il dit que c'est quelque chose qui est minuscule en comparaison de x. Ça se lit "petit o de x". Thepasboss effectue un développement de Taylor, c'est un outil extrêmement puissant pour l'étude des fonctions.

Pour démontrer qu'il n'existe aucun réel a>0 tel que sur ]-a;0[ (le coté positif ne nous intéresse plus)
1+0.8x<exp(x)
il va falloir utiliser le résultat que tu as montré juste avant.
De nouveau on enlève 1 et on divise par x, mais comme on est dans les négatifs on change le sens de l'inégalité.
On veut donc montrer qu'il n'existe pas de réel a>0 tel que sur ]-a;0[
0.8>(exp(x)-1)/x

Supposons par l'absurde qu'il existe un tel réel a>0. C'est à dire supposons que pour tout x dans ]-a;0[
0.8>(exp(x)-1)/x
Sauf que tu a montré plus tôt que
Comment pourrait-on tendre vers 1 en restant plus petit que 0.8 ? Il faudrait que 0.8>1, c'est absurde.

D'où la non-existence d'un tel a.

P.S : Si tu arrive à comprendre une telle démonstration et que tu la sors à ton prof il sera scié. Par contre si tu ne la comprend pas, il le verra ^^.

[thepasboss]

Ah sinon, pour ton énoncé, l'inégalité ne pourrait-elle pas être :

x + 0.8 < exp(x) < x + 1.2 ? Qui cette fois ci est juste

[invite340f0c11]

j'ai envoyé un mail au prof pour demander si il y avait une erreur il a dit non...j'en ai marre je trouve toujours pas la réponse à ce stupide exercice...