Développement en série de Laurent

[invitead88f3c2]

Bonjour

Je fais quelques exercices sur les séries de Laurent pour savoir si j'ai bien compris, et je me rend compte que j'ai encore des problèmes, décidément l'analyse .

Explicitez la série de Laurent de , a > 0 dans le disque pointé et la couronne . Laquelle de ces deux séries de Laurent permet de calculer le résidu de g(z) en z= 0 ?

Je sais que pour le disque pointé il faut avoir une expression avec des avec n appartenant à Z.
Et pour le disque pointé je doit trouver une expression de la forme

J'ai essayé avec une décomposition en facteurs premiers mais sans vraiment de succès.
Je ne vois pas trop comment procéder
Merci
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[invite57a1e779]

Dans le disque épointé , on écrit et on développe suivant les puissances de .

Dans la couronne , on écrit et on développe suivant les puissances de .

Dans les deux cas, la série de Laurent est suivant les puissances de , et pas de puisque le disque épointé et la couronne sont tous deux centrés en 0.

[invitead88f3c2]

Je comprend un peu mieux, mais dans votre méthode je ne vois pas clairement pourquoi dans un cas on développe 1/(1-z/a) et dans l'autre 1/(1-a/z).

En recherchant un peu tout à l'heure pour la couronne 0 < |z| < a, avec une autre méthode je suis arrivé sur:



Je sais pas si c'est bon

[invite57a1e779]

Je comprend un peu mieux, mais dans votre méthode je ne vois pas clairement pourquoi dans un cas on développe 1/(1-z/a) et dans l'autre 1/(1-a/z).

Tout simplement parce que l'on prend celui des deux rapports a/z ou z/a qui est de module strictement inférieur à 1, afin d'utiliser une série géométrique convergente.

En recherchant un peu tout à l'heure pour la couronne 0 < |z| < a, avec une autre méthode je suis arrivé sur:



Je sais pas si c'est bon

Cela revient à ma proposition, sauf que tu commences par une décomposition en éléments simples pour faire apparaître le terme en 1/z, que tu as d'ailleurs oublié dans ta dernière expression.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead88f3c2]

c'est beaucoup plus clair maintenant, merci

et par exemple si je veux faire un développement de laurent dans la couronne 0 < | z - a | < a, alors cette fois la série de laurent sera suivant les puissances de (z-a) ?

[invite57a1e779]

par exemple si je veux faire un développement de laurent dans la couronne 0 < | z - a | < a, alors cette fois la série de laurent sera suivant les puissances de (z-a) ?

Oui, la série de Laurent est suivant les puissances de dès que la couronne est de centre , même dans le cas général où elle est définie par .