Rebonjour, décidément, l´analyse complexe est vraiment complexe. J´ai de nouveau un exo d´annales, il me semble avoir trouvé une méthode adaptée, mais j´aimerais m´en assurer, et surtout, j´aimerais savoir si c´est la méthode la plus directe car elle me semble lourde et je me demande si elle est adaptée à une situation d´examen, vu le temps restreint. Alors voilà:
Soit f la fonction méromorphe définie par:
Donner le développement en série de Laurent de f dans 3 domaines:
C1 = {z ; module(z) < 2}
C2 = {z ; 2 < module(z) < 5}
C3 = {z ; 5 < module(z)}
Après décomposition de f j´obtient:
Jusqu´à maintenant je ne me suis intéressé qu´à C1. Pas la peine de continuer si ma méthode est foireuse.
C1 peut être considéré comme une couronne de centre 0, f étant alors holomorphe dans C1. Pour tout z de C1 on a alors:
an est défini par:
T étant un cercle centré en 0, qui doit impérativement inclure 5 et 2. Je prend donc le cercle de centre 0 et de rayon 6.
Il s´agit maintenant de calculer les deux intégrales explicitées dans an. J´utilise alors la formule d´intégrale de Cauchy en établissant la fonction holomorphe gn(x) = x-(n+1).
D´après la formule de Cauchy on a:
Ceci me permet alors de calculer an et après simplifications, j´obtient:
Si quelqu´un peut me dire si je suis à côté de la plaque ou sur le bon chemin...
Merci d´avance
Christophe
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