Mesure / Topologie

[Quinto]

Bonjour,
je me pose une petite question depuis quelque temps et je pense ne pas être le premier.

Si la mesure de Lebesgue est construire principalement à l'aide de la topologie usuelle sur R, je me demande si on ne peut pas en tirer quelques questions:

Si je me donne un espace X muni de la topologie T, est ce que l'on peut toujours construire une mesure m, telle que si X=R^n, et muni de la topologie usuelle, alors m coincide avec la mesure de Lebesgue.

En fait si c'est possible dans un espace topologique c'est possible dans un espace métrique, mais déjà dans le cas des espaces métriques ca ne me semble pas évident et ca me semblerait même presque faux...

Ce qui m'amène alors à la question posée dans l'autre sens:
Peut on à partir d'une mesure m, construire une topologie T sur X, ou au moins une topologie engendrée par une distance d.

Par exemple, dans le cas le plus simple:
m est la mesure de Lebesgue et X=R. (il faut oublier un instant la facon dont elle est construite sinon on va tourner en rond...°
Si je pose
d: R²->R+
(x,y)|->m([x,y])
je viens de construire une distance sur R qui est la distance euclidienne.
(c'est justement parce qu'elle est construite à partir des Boréliens de R que je disais qu'on tournerait en rond et qu'il fallait oublier sa définition)

Je pense que je ne suis pas le premier à me poser ces questions, alors si quelqu'un avait des éléments de réponse ce serait intéressant.

a+
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[martini_bird]

Salut,

Si je me donne un espace X muni de la topologie T, est ce que l'on peut toujours construire une mesure m, telle que si X=R^n, et muni de la topologie usuelle, alors m coincide avec la mesure de Lebesgue.

A première vue, je dirais que si ta topologie T contient des ensembles non-mesurables, il ne peut y avoir de mesure qui coïncide avec la mesure de Lebesgue. Réciproquement si T est contenue dans la tribu de Lebesgue, alors il suffit de considérer la mesure extérieure de Lebesgue sur T.

(Par ailleurs, il me semble que la tribu des boréliens est strictement incluse dans la tribu de Lebesgue, confirmation?)

En fait si c'est possible dans un espace topologique c'est possible dans un espace métrique, mais déjà dans le cas des espaces métriques ca ne me semble pas évident et ca me semblerait même presque faux...

Ce qui m'amène alors à la question posée dans l'autre sens:
Peut on à partir d'une mesure m, construire une topologie T sur X, ou au moins une topologie engendrée par une distance d.

Bien sûr: une topologie métrique est plus simple qu'une topologie quelconque car il suffit de considérer la topologie engendrée par les boules ouvertes (ce qui te donne une base de voisinages).

En espèrant t'avoir aidé.

Amicalement.

PS: j'ajoute un poly sur la mesure dans la bibliothèque.

[Quinto]

Salut, merci de tes commentaires.
Une réponse à chaud:

Par ailleurs, il me semble que la tribu des boréliens est strictement incluse dans la tribu de Lebesgue, confirmation?

Oui, à cause de la complétion on a déjà l'inclusion, et on peut montrer (non trivial) qu'il existe des ensembles Lebesgue-mesurables, non Borel-mesurables, ce qui prouve l'inclusion stricte.

Merci de tes réponses, je vais m'attarder sur tes réponses.

[martini_bird]

on peut montrer (non trivial) qu'il existe des ensembles Lebesgue-mesurables, non Borel-mesurables, ce qui prouve l'inclusion stricte.

Merci,

je me doutais que ce serait "non-trivial"!

Si par hasard, tu avais un contre-exemple sous la main, à l'occasion...

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Je n'ai jamis étudié ça en détail et si vous pouviez me donner quelques éclaircissments, ce serait sympa.
La complétion assure que toutes les parties Borel-négligeables sont Lebesgue-mesurables si j'ai bien compris.
Mais un ensemble non Lebesgue-mesurable ça peut ressembler à quoi ? (hormis le fait de ne pas être Borel-négligeable)
Encore du Banach-Tarsky ?
cf : http://www.les-mathematiques.net/a/a/i/node7.php3
mais c'est pas hyper clair.

[martini_bird]

Salut,

a priori, je ne pense pas que l'on ait besoin de l'axiome du choix: celui-ci implique en effet l'existence d'ensembles non Lebesgue-mesurables. Or ici, il s'agit de parties Lebesgue-mesurables qui ne sont pas des boréliens.

Je cherche et je t'en dis plus.

[matthias]

a priori, je ne pense pas que l'on ait besoin de l'axiome du choix: celui-ci implique en effet l'existence d'ensembles non Lebesgue-mesurables. Or ici, il s'agit de parties Lebesgue-mesurables qui ne sont pas des boréliens.

Oui j'ai bien compris que ce que vous cherchez sont des parties Lebesgue-mesurables mais non Borel-mesurables, je fais un peu de hors sujet.
Mais dans le lien que j'ai posté, j'ai un peu de mal avec l'axiome proposé: "toute partie de IR est mesurable" (sous-entendu Lebesgue-mesurable j'imagine ...). Incompatible avec l'axiome du choix donc ? Vous avez une idée des implications de l'utilisation de l'un des axiomes par rapport à l'autre (hors incongruité genre Banach-Tarski) ?

[martini_bird]

Oui j'ai bien compris que ce que vous cherchez sont des parties Lebesgue-mesurables mais non Borel-mesurables, je fais un peu de hors sujet.

Pardon: c'est moi qui ne t'avais pas compris.

Mais dans le lien que j'ai posté, j'ai un peu de mal avec l'axiome proposé: "toute partie de IR est mesurable" (sous-entendu Lebesgue-mesurable j'imagine ...). Incompatible avec l'axiome du choix donc ? Vous avez une idée des implications de l'utilisation de l'un des axiomes par rapport à l'autre (hors incongruité genre Banach-Tarski) ?

Effectivement, l'axiome du choix est équivalent à l'existence de parties non-mesurables pour la mesure de Lebesgue. Disons que l'on utilise quand même l'axiome du choix, et ce genre d'ensembles biscornus en est le prix à payer.

Le refus de l'axiome du choix s'inscrit dans le courant de pensée initié par Brouwer, à savoir le constructivisme. Or, partant de l'idée que tout objet mathématique puisse être construit effectivement, on est aussi vite amené à abandonner le principe du tiers exclus, ce qui amène à une mathématique non-classique, dont, pour être franc, je ne connais pas grand chose.

Cordialement.

[G13]

L'ensemble de Cantor est de cardinal P(N) et est de mesure nulle et il y a donc P(P(N)) sous-ensemble tous negligeable de l'ensemble de Cantor. Or il y a seulement P(N) boreliens. donc il y a des ensembles negligeables non boreliens.

[martini_bird]

Salut,

l'axiome du choix est équivalent à l'existence de parties non-mesurables pour la mesure de Lebesgue.

Après recherche, ce que j'ai dit est faux: si l'on ne postule pas l'axiome du choix, la mesurabilité de toutes les parties de IR est un problème indécidable. On peut alors accepter ou non l'existence d'au moins une partie non-mesurable.

L'ensemble de Cantor est de cardinal P(N) et est de mesure nulle et il y a donc P(P(N)) sous-ensemble tous negligeable de l'ensemble de Cantor. Or il y a seulement P(N) boreliens. donc il y a des ensembles negligeables non boreliens.

Bonjour et bienvenue, G13!

En effet, la tribu des boréliens de IR a même cardinalité que IR, alors que la famille des ensembles Lebesgue-mesurables a le cardinal de P(IR). Merci.

Source, page "156".

[Quinto]

La complétion assure que toutes les parties Borel-négligeables sont Lebesgue-mesurables si j'ai bien compris.

Ce n'est pas tout à fait çà.
La complétion assure que toute partie d'un ensemble Borel-négligeable est Lebesgue mesurable, et on pose que cette mesure est nulle.
Ou alors on ne parle pas de la même chose.

[G13]

Bonjour,
En tout cas, si on considere la categorie des espaces homeomorphes a R, il n'y a pas de foncteur F de cette categorie dans celle des tribus tel que F(R) egal la tribu de Lebesgue. En effet, je crois qu'il y a des bijections continues b telles que il existe un ensemble de mesure nulle E tel que b(E) n'est pas mesurable au sens de Lebesgue. Si b(E) l'etait, toute partie de R serait Lebesgue-mesurable.

[matthias]

Ce n'est pas tout à fait çà.
La complétion assure que toute partie d'un ensemble Borel-négligeable est Lebesgue mesurable, et on pose que cette mesure est nulle.
Ou alors on ne parle pas de la même chose.

Je ne vois pas en quoi ce que j'ai écrit serait faux. Je n'était pas en train de donner une définition de la complétion. Je m'interrogeais juste sur les ensembles qui étaient Lebesgue-mesurables et ceux qui ne l'étaient pas.
D'ailleurs, si un ensemble Borel-négligeable est définie comme une partie d'un ensemble Borel-mesurable de mesure nulle, je ne vois pas l'intérêt de parler de partie d'un ensemble Borel-négligeable...

Quelque chose m'a échappé ?

[Quinto]

Mouais, en fait j'ai suivi le cours de mesure en anglais, alors tout ce qui est subtilité du vocabulaire...
Peut etre qu'on parle de la même chose mais comme je te le dis, je préfère ne pas entrer dans ces subtilités.
a+

[matthias]

OK
Moi, j'ai juste lu le cours de mathematiques.net pour l'instant, vu que mes cours sur la théorie de la mesure ne rentraient pas dans ces détails.
Donc il est très possible que quelque chose m'ait échappé.
D'après ce que j'ai compris, Borel-négligeable <=> partie d'un ensemble Borel-mesurable de mesure nulle

[martini_bird]

Réflexe:

La bibliothèque!

[martini_bird]

OK
Moi, j'ai juste lu le cours de mathematiques.net pour l'instant, vu que mes cours sur la théorie de la mesure ne rentraient pas dans ces détails.
Donc il est très possible que quelque chose m'ait échappé.
D'après ce que j'ai compris, Borel-négligeable <=> partie d'un ensemble Borel-mesurable de mesure nulle

Sinon, l'expression Borel-négligeable n'a pas de sens car la "négligeabilité" ( ) est une notion qui concerne la mesure pas la tribu.

En effet, un ensemble est dit négligeable s'il est contenu dans une partie de mesure nulle.

On peut donc parler d'ensembles Lebesgue-négligeables (négligeables pour la mesure de Lebesgue). Mais il n'y a pas (que je sache) de mesure de Borel. Le nom de Borel est par contre attaché à la tribu engendrée par les ouverts d'un espace topologique (c'est la tribu canoniquement associée à une topologie).

Voili, en espérant ne pas avoir dit trop de bêtise.

[matthias]

Sinon, l'expression Borel-négligeable n'a pas de sens car la "négligeabilité" ( ) est une notion qui concerne la mesure pas la tribu.

En effet, un ensemble est dit négligeable s'il est contenu dans une partie de mesure nulle.

On peut donc parler d'ensembles Lebesgue-négligeables (négligeables pour la mesure de Lebesgue). Mais il n'y a pas (que je sache) de mesure de Borel. Le nom de Borel est par contre attaché à la tribu engendrée par les ouverts d'un espace topologique (c'est la tribu canoniquement associée à une topologie).

Voili, en espérant ne pas avoir dit trop de bêtise.

L'expression Borel-négligeable est effectivement de mon cru et elle est mal choisie je l'avoue.
Toutes mes excuses.
Ce que j'appelais Borel-négligeable était en toute rigueur, une partie d'un borélien dont la mesure de Lebesgue est nulle.

Bon, je vais revoir ça.

[martini_bird]

Toutes mes excuses.

Je t'en prie: ça arrive même aux meilleurs.

[Quinto]

Pour revenir au sujet principal, je ne comprend pas vraiment ta première réponse Martini je t'avouerai.

Par exemple, si j'ai un espace topologique (X,T).
Je pose
m: P(X)->R+
U->m(U)
m qui vérifie les propriétés d'une mesure, et dans le cas où (X=R,Tusuelle) on a m=mesure de lebesgue.

La question réside dans la construction de m...

[martini_bird]

Salut,

en fait, je ne comprends pas trop ta question: tu prends un espace topologique (X,T) quelconque et tu en fait un espace mesuré par m sur la tribu P(X). Jusque là, OK.

C'est la suite: tu veux te ramener à l'espace (IR, T', ml) où T' est la tribu de Borel (ou de Lebesgue) et ml la mesure de Lebesgue? Mais m est une mesure sur un autre espace: je ne comprends pas. :confused:

Ce que j'avais compris, c'était ceci: on a une topologie T quelconque sur IR et on cherche à construire une mesure m sur une tribu contenant T telle que m coïncide avec la mesure de Lebesgue...

Bon, dis-m'en plus, car je suis un peu perdu.

Cordialement.

[G13]

Bonjour,
Si G est un groupe topologique localement compact, il existe une mesure canoniquement associe a G telle que si G est l'espace vectoriel R^n, on retrouve la mesure de Lebesgue.
C'est la mesure de Haar.
Je ne sais pas si ca repond a ta question.

[G13]

Salut Quinto,
Tu cherches une procedure pour construire une mesure sur un espace topologique a partir de la topologie, telle que cette procedure appliquee a R^n donne la mesure de Lebesgue.
Cela veut dire que la decision de savoir si un ensemble est mesurable ne depend que de sa relation avec les ouverts. Donc si on a un homeomorphisme de R, l'image d'un ensemble mesurable E va etre dans la meme relation avec les ouverts de la topologie que E donc va etre mesurable.
Or je crois qu'il existe des homeomorphismes telle que l'image d'un ensemble Lebesgue-negligeable n'est pas mesurable.
Par exemple si on prend, la fonction de [0,1] dans [0,1] affine par morceaux telle que f(0)=0, f(1)=1, f(1/3)=un nombre legerement inferieur a 1/2, f(2/3)= un nombre legerement superieur a 1/2.
Ensuite on remplace f sur [0,1/3] par une fonction affine par morceaux de meme allure que f sur [0,1]. De meme sur [2/3,1]
et ainsi de suite.
Ca nous donne une suite de fonction qui converge uniformement vers un homeomorphisme.
On peut choisir cet homeomorphisme de sorte que l'image F de l'ensemble de Cantor est de mesure non nulle. Or tout sous ensemble de l'ensemble de Cantor est mesurable donc tout sous ensemble de F serait mesurable.
En considerant, l'application g de[0,1] dans [0,1] qui a x associe mesure de [0,x] inter F on voit que l'image d'un borelien par g est un borelien, l'image d'un ensemble de mesure nulle est de mesure nulle donc l'image d'un sous-ensemble mesurable de [0,1] est mesurable donc comme tout sous ensemble de F serait mesurable, tout sous ensemble de [0,mesure de F] serait mesurable ce qui est faux.
Donc il n'ya pas de procedure associant a une topologie une mesure telle que la mesure associe a R est la mesure de Lebesgue.

[Quinto]

Mais c'est bizarre car si je reviens à la définition même de la mesure de Lebesgue sur R, on voit bien qu'elle est justement construite à partir d'une topologie.

Je propose ceci:
On considère R muni de la topologie engendrée par la distance d=|.|
On a donc une collection T d'ouverts U.
Si je muni R de la tribu engendrée par T, j'ai alors ce qu'on appelle les boréliens de R, B(R).
Jusque là, pas d'embrouille.
Maintenant je vais me servir du fait que (R,d=|.|) est un espace métrique, et pas "juste" un espace topologique.
Je construis ma mesure m par
m((a,b))=d(a,b)
J'ai bien m qui est la mesure de Lebesgue non?
Et elle est uniquement définie par les propriétés du fait que R est un espace métrique.
C'est vrai que c'est plus fort que de dire que R est un espace topologique non métrisable.

L'idée est de savoir si je peux procéder ainsi pour d'autres espaces métriques.
Ca ne me semble vraiment pas clair, et déjà dans certains cas c'est clairement faux...

[martini_bird]

Salut,

Donc il n'ya pas de procedure associant a une topologie une mesure telle que la mesure associe a R est la mesure de Lebesgue.

Je pose la même question que Quinto.

[...] R est un espace topologique non métrisable.

Ca me rassure de voir que je ne suis pas le seul à dire des bêtises!

Sinon, je crois que tu trouveras la réponse à partir de la page 17 de ce doc (new in the library ).

Je résume: soit X un espace topologique.
On considère une mesure extérieure (ce n'est pas une mesure) sur P(X).
En restreignant à , tribu des ensembles mesurables au sens de Carathéodory, on obtient une mesure sur .

Supposons de plus que X est métrique.

Si pour toutes parties A, B telles que dist(A, B)>0, on a , alors les boréliens sont -mesurables (i.e. ).

Reste à construire une mesure extérieure de ce type telle que le volume d'un cube soit de la forme escomptée: pour celà, le doc propose une méthode (proto-mesure: "méthode I").

Cette méthode appliquée aux cubes de fournit la mesure de Lebesgue.

En espérant que celà répond à ta question.

Cordialement.

PS pour Matthias: mea culpa, il existe des mesures de Borel! Voir ici par exemple.

PS pour G13: on peut caractériser la mesure de Lebesgue grosso modo soit par le volume sur les cubes, soit par l'invariance par translation, n'est-ce pas? Dans le deuxième cas, la généralisation est donc la mesure de Haar. Par contre, je n'ai pas tout compris à la construction de ton dernier message.

[Quinto]

Ne sors pas mes phrases du contexte ...
Je parlais de R muni d'une topologie non métrisable et non de R muni de la topologie usuelle...

[martini_bird]

Ne sors pas mes phrases du contexte ...
Je parlais de R muni d'une topologie non métrisable et non de R muni de la topologie usuelle...

Toutes mes excuses! (pas taper!)

Mais, pour être franc, je n'ai pas compris le sens de cette phrase, justement dans le contexte. :confused: C'est essentiel? J'ai loupé quelque chose?

[Quinto]

Je disais que dans ce cas précis je pouvais construire une mesure facilement parce que je considérais que R était muni de la topologie engendrée par la métrique d=|.|.
Ca n'aurait pas été aussi facile si R avait été muni d'une topologie autre, comme la topologie discrète ou grossière ou je ne sais quoi.