Un petit probleme avec Banach-Alaoglu

[invitea41c27c1]

Bonjour,

Je suis confronté au paradoxe suivant : le théorème de Banach-Alaoglu dit que la boule unité du dual de est compact pour la topologie de convergence simple. Mais si je considère la suite , elle n'admet pas d'extraction convergeant simplement !! Alors où est-ce que je me trompe ?
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[invite4ef352d8]

Salut !

Dans un espace compact non métrisable la propriété de Bolzano Weirstrass n'est plus automatiquement valable :

on a toujours que toute suite admet des valeur d'adhérence, mais une valeur d'adhérence n'est pas automatiquement la limite d'une suite extraite.

ceci dit les valeurs d'adhérence de ton exemple m'on l'air un peu compliqué à expliciter... (je crois que ce sont les forme "limites selon des ultrafiltres")


Note qu'on a le résultat suivant : si E est un Banach séparable, la topologie de la convergence simple est métrisable sur la boule unité de E* (attention : seulement sur la boule unité, c'est en général pas vrai sur l'espace entier) et dans ce cas tu retrouve la possibilité d'extraire des sous suites convergente... mais L_infini à le mauvais gout de ne pas être séparable...