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projecteur



  1. #1
    gadouille

    projecteur


    ------

    Bonjour, je souhaiterais un coup de main sur un problème.

    Soit f une application linéaire de R^3 dans R^3
    tel que f(e1)=e1 et f(e)=f(e3)=1/2(e2+e3)

    Déterminer Kerf et Imf et montrer que f est un projecteur.

    Il me reste juste à démontrer que f est un projecteur soit que f²=f
    et la restriction de f à imf est l'application identité.

    Si quelqu'un peut me donner un coup de pouce ça serait gentil.

    A bientôt

    -----

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  3. #2
    Forhaia

    Re : projecteur

    Bonjour,

    ici, plutôt que montrer que f2=f, il est plus simple de monter que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans R3 et que la restriction de f à Im(f) est l'identité.

  4. #3
    gadouille

    Re : projecteur

    bonjour, comment arrive tu as dire que montrer que f²=f revient à montrer que kerf et imf sont supplémentaires.
    Je n'arrive pas à trouver le lien. Je suis peut-être embêtant mais j'aimerais comprendre ce que je fais.

    Merci de ton aide

  5. #4
    Coincoin

    Re : projecteur

    Citation Envoyé par gadouille Voir le message
    comment arrive tu as dire que montrer que f²=f revient à montrer que kerf et imf sont supplémentaires.
    Soit x un élément étant à la fois dans Im f et Ker f, alors x peut s'écrire f(y) et f(x)=0, donc f(f(y))=0. Comme f^2=f, alors f(y)=0, donc x=0. Donc Ker f et Im f sont supllémentaires.
    Encore une victoire de Canard !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Forhaia

    Re : projecteur

    ...et la somme fait bien E car x= (x-f(x)) +f(x) avec x-f(x) dans Ker(f) et f(x) dans Im(f).

  8. #6
    gadouille

    Re : projecteur

    pour montrer que Kerf et Imf sont supplémentaires, on montre que dim kerf + dim Imf = DimE et Kerf intersection de Imf=0.
    Et comme f est un endomorphisme alors on a un projecteur ?

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  10. #7
    Forhaia

    Re : projecteur

    Oui c'est ça, mais n'oublie quand même pas de vérifier que f(x)=x pour x dans Im(f).

  11. #8
    gadouille

    Re : projecteur

    Déjà merci de votre aide c'est super sympa de votre part de me consacrer un peu de votre temps.

    Mais j'ai un autre et dernier souci.
    On considère R^3 munit du produit scalaire usuel soit <X|X'>=xx'+yy'+zz' avec (x,x')R^3xR3

    On introduit les 3 vecteurs suivant dans R^3 tels que :
    v1=(-1,1,1)
    v2=(-1,0,1)
    v3=(1,1,2).
    On introduit le plan vectoriel à E orthogonal à v1. Soit p la projection orthogonale sur E.
    Donner P(X) pour tout X dans R^3.

    Alors j'ai déjà trouver une base orthonormée de v1,v2,v3 par le procédé de Schmidt. Ce qui me donne donc la base {e1,e2,e3}.
    J'ai donc ensuite trouver une base orthonormée de E qui est {e2,e3}.
    Et E={X de R^3 / <X|e1>=0 }
    et <X|e1>=0 me donne un équation de plan.
    Après je suis bloqué pour trouver P(X)

    Et enfin une fois avoir trouver cette projection il me faudra l'exprimer dans la base canonique.

    Merci de votre aide.

  12. #9
    Forhaia

    Re : projecteur

    Tu dois à mon avis chercher trop loin,
    il suffit de dire que p(e1)=0, p(e2)=e2, p(e3)=e3.

    Pour donner l'expression dans la base canonique, tu exprimes les vecteurs de la base canonique dans la base (e1,e2,e3) et tu calcules leurs images par ce qui précède.

  13. #10
    gadouille

    Re : projecteur

    donc on dit que X est une combinaison linéaire de e1,e2,e3 soit :
    X=ae1+be2+ce3
    P(X)=P(ae1+be2+ce3)
    P(X)= b*e2+c*e3 car p linéaire
    est ce juste ?

  14. #11
    gadouille

    Re : projecteur

    Sinon pour la dernière question qu'est de déterminer la matrice p dans la base canonique, ne faut il pas plutôt déterminer e1 en fonction des vecteurs de la base canonique ?

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