famille libre des polynomes

[invite402e4a5a]

bonjour
Soient U, V 2 K[X] non constants. On pose Pk = U^k V^(n−k). Montrer que (P0, . . ., Pn) est libre . . .
1) lorsque U ^ V = 1.
2) lorsque (U, V ) est libre
ca fait longtemps que je bosse sur cet exo mais envain
ce qui me gêne c que U et V sone non constants
j'aurais pu évaluer en zéro et le problème est résolu

merci d'avance.
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[invite8a80e525]

Bonjour,

Tu peux essayer par exemple de factoriser un U dans tous les termes où c'est possible...
(c'est un argument arithmétique qui te permettra ensuite de conclure pour la 1, et une évaluation quelque part ou U et V ne sont pas nuls tous les deux pour la 2)

[invite402e4a5a]

bonjour
j'ai factorisé et j'ai trouvé
lamda0 V^n / U + lamda1 V^(n-1)+...+lamda n U^(n-1)=0
comme U divise 0 il doite diviser toute la somme=>U divise lamda0 V^n / U.
comme U^V=1 forcément lamda0 = 0
correcte??

[invite8a80e525]

Oui c'est bien ça, même si ta façon de l'écrire n'est pas super:
écrit plutôt U ( lamda1 V^(n-1)+...+lamda n U^(n-1))=-lamda0 V^n
donc U divise lamda0 V^n


Par contre mon indication pour la 2 ne fonctionne pas, désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite402e4a5a]

j'ai trouvé 2 moi même
merci bien