Famille libre

[invite00c17237]

Bonjour,

Je voulais me mettre au clair sur la notion de famille libre. Par contre, j'ai cherché cette notion sur wikipedia. Mais, par contre, je crois qu'il y a une erreur dans la définition : On ne peut pas dire que l'on se place quelque soit les lambdas et puis que l'on dise que ces lambdas sont nuls (cf ci-dessous)

Définition de wikipedia

Une famille d'éléments d'un K-[[espace vectoriel]] ''E'' est dite K-libre si et seulement si :



Voilà comment je verrais mieux la notion (avec des exemples très simples) pour bien comprendre. Pouvez me dire ce que vous en penser ?

Si quelque soit f1, f2 a*f1 + b*f2 = 0 et que f1 n'est pas dépendant de f2
Alors a = b = 0

Exemple :
a*f1 + b*f2 = 0
et f1=-f2

alors (a-b)*f1=0 et a=b

a*f1 + b*f2 = 0
(f1, f2) = (6,7)
alors la seule possibilité pour avoir la a*f1 + b*f2 = 0 est que a = b = 0

Je vous remercie d'avance

Benjamin
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[invitebe0cd90e]

Non, ta definition n'a pas de sens, tu veux montrer quelque chose pour des f1 et des f2 particulier donc tu ne peux pas mettre de "quelque soit", et tu ne definis pas "ne pas dependre de"... ET dans tes exemples, il semble que f1 et f2 sont des vecteurs, donc ecrire (f1,f2)=(6,7) n'a pas trop de sens, ou alors tu es dans un R-espace vectoriel de dimension 1 (dans R, quoi), et donc toutes les familles libres n'ont qu'un seul element DOnc je ne vois pas trop ou tu veux en venir.

Il n'y a pas de problemes dans la definition de Wikipedia. Moralement le "pour tout lambda_i" revient à dire (heureusement) qu'on n'impose pas comme hypothese au depart au lambda d'etre nul, mais que pour une famille libre, SI la combinaison lineaire est nulle ALORS forcement les lambda_i sont nuls. Autrement dit, une famille est libre si la seule manière d'avoir une combinaison lineaire egale à 0 est de prendre tous les coefficients egaux à 0. Ou encore autrement dit, une famille de vecteurs est libre s'il n'est pas possible d'ecrire l'un de ses vecteurs comme combinaison lineaire des autres.

Histoire de donner un exemple stupide pour montrer qu'on peut tres bien poser un "pour tout" pour finalement obtenir quelque chose de particulier, tu peux tout a fait ecrire : . La proposition entre parenthese est bien vrai pour tout x de R.

Si tu veux tout savoir, c'est une propriété elementaire de l'implication : si une proposition P est fausse, alors la proposition est vraie quelque soit la proposition Q.