famille Q-libre...

[invite29e48b79]

Hello
Voila j'ai un DM de math à faire et une question sur laquelle je bloque depuis 2h
J'ai le polynome P0 = X^3 - X^2 - 2X +1, et j'ai démontré que ces 3 racines étaient irrationelles réelles, puis que P0 est irréductible dans Q. On a noté x1 la plus petite racine de P0 (vers -1)
Maintenant j'ai l'ensemble E = { P(x1) / P € Q[X] }, je dois montrer que c'est un Q-ev (fait), puis que (1,x1,x1²) en est une Q-base.
J'ai pu prouver avec des divisions de P par P0 que c'est générateur, mais je bloque donc sur la liberté depuis pas mal de temps :/

Je vois pas trop comment faire si j'utilise le systeme A + Bx1 + Cx1² = 0, et je vois encore moins comment faire si je dois montrer directement que la dimension est de 3...
Bref, avez-vous une idée ?
merci
-----

[invite9cf21bce]

Salut !

Je vois pas trop comment faire si j'utilise le systeme A + Bx1 + Cx1² = 0

Je ne connais pas ton niveau... Deux possibilités selon ce que tu sais :

1. L'ensemble des polynômes qui annulent x1 est un idéal de Q[X], donc principal. Comme P0 est irréductible, il est générateur de l'idéal.

ou bien

2. Deux étapes (je ne te mets que les grandes lignes) :
- le pgcd de P0 et de A + BX + CX² annule x1 ;
- il est donc (nul ou) de degré >0 ; or P0 est irréductible, ...

Taar.

[invitebe0cd90e]

[j'avais mal lu, admettons que je n'ai rien dit ]

[invite29e48b79]

Vu que je suis en MPSI, je vais faire selon la 2eme méthode
Donc si je comprend bien le pgcd de P0 et de A + BX + CX² divise P0 et est dans Q[X], donc comme P0 est irréductible dans Q[X], le pgcd est constant, et puis comme il s'annule en x1 il est nul. Et puis comme P0 est non nul, c'est l'autre polynome qui est nul, donc A = B = C = 0 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite29e48b79]

Oups je me suis gouré...
donc on en déduit que le PGCD est soit nul (impossible car P0 non nul) soit égal à P0, donc P0 | A + BX + CX², et comme deg P0 > deg A + BX + CX², alors A + BX + CX² = 0

[invitebe0cd90e]

c'est ca. en fait, P0 est le polynome minimal de x1 (c'est lui car le coefficient dominant est 1, sinon il aurait suffit de diviser par ce coefficient). c'est donc le polynome de degre minimal parmi ceux qui s'annule en x1. en plus de ca, tout polynome qui s'annule en x1 est multiple de P0. en particulier, il n'existe pas de polynome de degré strictement inferieur a 3 qui s'annule en x1.

d'une maniere generale, si est une racine d'un polynome irreductible de degré n, alors la famille est libre.