Famille libre

[invite16e12822]

Bonjour à tous,

Comment peut on prouver que la famille des sin(k*Pi*x), k allant de o à n est une famille libre pour tout x appartenant à l'intervalle [o,1].

Merci d'avance
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[Coincoin]

Salut,
Personnellement, je pense qu'il faut regarder au niveau des points où chaque fonction s'annule...

[invite16e12822]

Merci, je pense voir le mécanisme!!

[invite1d60e7b5]

Je pense que c'est plutôt k allant de 1 à n pasque avec k=0 c'est la fonction nulle

Sinon tu peux utiliser le fait que la dérivée seconde de sin(k*Pi*x) est égale à -(k*Pi)²*sin(k*Pi*x), et voir ce que tu peux faire avec ça ...

Si tu as fait les valeurs propres c'est direct car ces vecteurs sont des vecteurs propres de l'endomorphisme de dérivée seconde associés à des valeurs propres distinctes ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[GillesH38a]

On peut aussi utiliser le fait qu'ils sont mutuellement orthogonaux vis à vis d'un certain produit scalaire... c'est la base de l'analyse de Fourier.

[Quinto]

Ou montrer que ce sont des vecteurs propres pour un certain opérateur, ce qui sous certaines contraintes, implique la réponse de gillesh38.
Notamment, si on prend l'opérateur d^2, alors tes fonctions sont des vecteurs propres pour des valeurs propres que tu peux facilement trouver.
A+

[invite1d60e7b5]

Heu t'as lu ma réponse ?