Projecteur

[invite0fadfa80]

Bonjour à tous,
j'ai un petit soucis.
Soit E un R-ev, I=IdE
Soit f un endomorphisme de E, alpha et béta étants 2 réels tq (f-alpha I)o(f-béta I)=0
On pose F(alpha)=Ker(f-alpha I) et F(béta)=ker(f- béta I)

J'ai du montrer que Im(f-béta I) inclu dans F(alpha) et que Im(f-alpha I) inclu dans F(béta).
Puis que F(alpha) et F(béta) sont supplémentaires dans E.
et c'est maintenant que je bloque :
On désigne par p le projecteur sur F(alpha) parallèlement à F(béta),et par q le projecteur sur F(béta) parallélement à F(alpha). Expliciter p et q en fonction de f et de I, puis demontrer que : p+q=I et poq=qop=0.

C'est pour ce qui est souligné que je bloque pour l'instant.
Merci pour votre aide.
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[invitec053041c]

Qalut.

Je te donne une piste (pour le premier).
Tu sais que pour tout x dans Fbeta, tu dois avoir p(x)=0, donc tu as bien envie de poser p(x)=m.(f-beta I).
Puis pour tout x dans Falpha, tu dois avoir p(x)=x, ça devrait t'aider à trouver m .

Tu vérifies ensuite que tu as bien un projecteur..

[invite0fadfa80]

ok, merci mais je ne vois vraiment pas comment faire.
Je suis d'accord que p(x)=m.(f-beta I)(x)
Ensuite je fais le même raisonnement avec Falpha :
quelquesoit x appartenant à Falpha, p(x)=x
or Falpha=ker(f-alpha I) donc quelsquesoit x appartenant à F alpha j'ai (f-alpha I)(x)=0
Et.... *bloqué*

[invitec053041c]

Tu te dis que p(x)=m(f(x)-beta.x) ça semble une bonne forme, il te reste à trouver m en considérant a appartenant à Falpha...c'est quand même pas bien difficile.

Si a appartient à F(alpha), alors f(a)=alpha.a, donc p(a)=m.(f(a)-beta)=a(imposé)

[A voir en vidéo sur Futura]