Les séries de Riemann

[invitebf8e9ae2]

Bonjour!

Je sais bien que ce forum n'est pas là pour ça mais ça fait plusieurs heures que je planche sur un probleme et je ne vois toujours pas le bout. Si quelqu'un pouvais me donner qlq indications pr me sortir de cette impasse ça serait sympa

Soit la suite Sn= Σ des k allant de 1 à n de (1/k^α) avec α>0

On définit la fct gα sur ]0;+∞[ par gα(x)=1/x^(α-1)

On considère que α>1

On a pr tt x appartient à [k,k+1] :
(1-α)/k^α <(ou egal) gα'(x) <(ou egal) (1-α)/(k+1)^α

Je n'arrive pas à en déduire que pr tt k appartenant à N on a :
(1-α)/k^α <(ou egal) 1/(k+1)^(α-1) - 1/k^(α-1) <(ou egal) (1-α)/(k+1)^α

J'ai seulement remarqué que ce qu'il y a au milieu de l'inégalité correspond en fait à gα(k+1) - gα(k)

Je dois ensuite en déduire un encadrement de Sn en utilisant les sommes téléscopiques ( j'en ai trouvé un mais il me semblent absurde )
Pour finir je doit déduire de cet encadrement que Sn est convergente ( c'est là où je pense que mon encadrement est absurde car je trouve que Sn converge vers 1-α )

Estce que quelqu'un pourrait m'aider?
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[Flyingsquirrel]

Salut

J'ai seulement remarqué que ce qu'il y a au milieu de l'inégalité correspond en fait à gα(k+1) - gα(k)

Et c'est bien ce qu'il faut voir : ce que tu veux montrer c'est qu'il y a un tel que

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Appliquer le théorème de Rolle à une fonction bien choisie

[invitebf8e9ae2]

Merci bcp pr l'indication, en effet je n'avais pas vu la manip à faire! Cependant je ne suis pas sûre d'avoir tt compris...
Pr appliquer le théorème de Rolle à gα il faut que gα(k)=gα(k+1) or c'est différent n'estce pas?

[Flyingsquirrel]

Oui ils sont différents, c'est pour ça que j'ai parlé d'une fonction « bien choisie ». Le théorème de Rolle te dit que si une fonction G vérifie G(k)=G(k+1) et est dérivable sur [k,k+1], il existe un point c dans le segment tel que G'(c)=0.
Sachant ce que l'on veut montrer, tu peux trouver G' puis en déduire G à une constante d'intégration près. Constante que tu détermineras avec la condition G(k)=G(k+1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46bb311b]

ce que tu veux montrer c'est qu'il y a un tel que

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Appliquer le théorème de Rolle à une fonction bien choisie

Bonjour,

Quelque chose a dû m'échapper dans votre réponse.

Pour montrer qu'il y a un tel que
en utilisant le théorème de Rolle, faut-il faire correspondre G(k) à [tex]g_{\alpha}'(c) et G(k+1) à ?
Si oui, je ne vois pas du tout quelle fonction pourrait correspondre à G... et même G'...

[Flyingsquirrel]

Bonsoir

L'idée est de choisir . On obtient alors G par intégration et en utilisant la condition G(k)=G(k+1). Ensuite il n'y a plus qu'à vérifier qu'on peut effectivement appliquer le théorème de Rolle à G et on obtient le résultat voulu.