Exercice sur les Séries (Spé MP)

[inviteedb947f2]

Bonjour à tous,

Je vient vous faire part d'un exercice de colle, que je pense avoir presque résolu mais sans utilisé une question intermédiaire ce qui m'ennui un peu.

Le but de l'exercice est de montrer que :

f : R+ dans R+.

Montrer que :

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Toute serie a valeurs positives de terme générale Un converge implique la serie f(Un) converge également

si et seulement si

f(x)/x bornée au voisinage de 0

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Bien, l'inclusion réciproque est faite, le probleme est l'inclusion direct, j'ai pour cela un resultat intermediaire pour m'aider :

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f : R+ dans R+
f(x)/x non bornée au voisinage de 0

Pour tout n dans N*, il existe x dans ]0,1/n²[, tel que f(x) > nx

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Au vu de ce resultat je pense qui faut résonner par l'absurde, donc en raisonnant par l'absurde :
Le but est de trouver une suite ne verifiant pas "Serie(Un) converge implique Serie(f(Un)) converge" sachant que f(x)/x non bornée.

Donc je pense que, la suite V qui a "n" associe le "x" definie dans le résultat précédent convient.

Serie(Vn) converge car inferieur a 1/n² et positive.
<b>Mais je ne vois pas comment prouver que f(Vn) ne converge pas...<b>

Je vous donne aussi le dernier résultat intermediaire donc je ne me suis pas encore servit :

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Pour x dans ]0,1/n²[, montrer l'existence de p(x) dans N \ {0 et 1}

tel que (p(x) - 1)x <= 1/n² < p(x)x

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(J'ai bien démontré ce résultats mais son utilisation pour le théorème que je ne vois pas).

Pouvez me donner quelques pistes ?

Merci d'avance pour votre aide...
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[invite57a1e779]

Si je considère la fonction définie par de dans lui-même.

Tout d'abord n'est pas bornée au voisinage de 0.
Ensuite la série de terme général alors que la série de de terme général diverge.
Ces résultats sont conformes à l'équivalence que l'on cherche à prouver.

Toutefois, si l'on cherche à trouver un tel exemple de série avec ta démarche, on est amené à considérer l'inégalité , qui est safisfaite si, et seulement si .
On est donc amené à considérer une série de terme général avec , donc convergente.
Par stricte croissance de f, on aura , et la série de terme général est convergente.

En fait, dès que la série satisfait à , alors , et les deux séries de termes généraux et sont convergentes.

On est donc, dans ce cas particulier, obligé de construire un série de terme général avec .
Par suite, ton idée va dans le bon sens, mais ne permet pas de conclure.

[inviteedb947f2]

Si j'ai bien compris, le résultats qui suit prouve (sans utiliser les propositions intermediaires) notre implication direct par l'absurde (puisqu'ici nous avons un contre exemple de l'hypothese) ?

Si je considère la fonction définie par de dans lui-même.

Tout d'abord n'est pas bornée au voisinage de 0.
Ensuite la série de terme général alors que la série de de terme général diverge.
Ces résultats sont conformes à l'équivalence que l'on cherche à prouver.

Cependant, je ne vois pas comment on peut conclure d'un quelconque manière sur la non convergence de f(Un) avec "ma" démarche. Puisque on ne peut conclure sur la serie f(Un) qu'une égalité du type :

0 < f(Un) < f(1/n^3) (En reprenant le cas de ton exemple).

Il n'est donc pas possible peut importe le résultat sur f(1/n^3) de conclure une non convergence de la serie des f(Un), ce qui est malheureusement notre dernier obstacle.

[invite57a1e779]

Mon message faisait réponse à cette seule idée :

Donc je pense que, la suite V qui a "n" associe le "x" definie dans le résultat précédent convient.

Serie(Vn) converge car inferieur a 1/n2 et positive.
Mais je ne vois pas comment prouver que f(Vn) ne converge pas...

Il existe des fonctions, celle de mon précédent post par exemple, pour lesquelles , et tu ne pourras pas montrer que ne converge pas...

L'équivalence demandée par l'exercice est bien vraie, mais ton idée ne peut pas fonctionner : Tu je ne vois pas comment prouver que f(Vn) ne converge pas... parce que c'est faux !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb947f2]

Ok pour mon premier raisonnement, je vois le probleme.

Mais la fonction que tu définie comme suit :

Si je considère la fonction définie par de dans lui-même.

Tout d'abord n'est pas bornée au voisinage de 0.
Ensuite la série de terme général alors que la série de de terme général diverge.
Ces résultats sont conformes à l'équivalence que l'on cherche à prouver.

cette fonction prouve "l'absurdité" de la proposition :

Le but est de trouver une suite ne verifiant pas "Serie(Un) converge implique Serie(f(Un)) converge" sachant que f(x)/x non bornée.

donc l'exercice est fini si j'exhibe cette fonction... Ce qui me paraît étrange au vu des questions précedentes...

[invite57a1e779]

Non, au contraire, tu prouves que le résultat de l'exercice est valable pour cette fonction.
Or on te démontre de montrer qu'il est valable pour toute fonction.
Tu as un exemple, ce qui ne prouve rien...

[inviteedb947f2]

Oui mais justement, l'exercice demande un "pour tout".
Mais si on prend la contraposé de notre proposition, on part donc d'une fonction "non borné" et il faut prouver une "exsitence", et ton exemple correspond bien à cette existence.

[invite57a1e779]

L'énoncé demande :

Toute série à valeurs positives de terme générale Un converge implique la série f(Un) converge également

si et seulement si

f(x)/x bornée au voisinage de 0

Si f(x)/x bornée au voisinage de 0, alors on a facilement : Toute série à valeurs positives de terme générale Un converge implique la série f(Un) converge également.

On veut la réciproque , par contraposition, c'est-à-dire :
Si f(x)/x n'est pas bornée au voisinage de 0, alors il existe une série a valeurs positives de terme générale Un convergente et la serie f(Un) diverge.

Je montre que c'est le cas pour une fonction f très particulière, alors que l'énoncé le demande pour une fonction f quelconque !!!
J'exhibe un exemple, pas un contre-exemple.

[inviteedb947f2]

Bien, merci beaucoup je me suis égaré et je nageais en pleine confusion avec ses doubles implications...

Donc pour revenir au "vrai" probleme, je pense qu'au vu des questions précédentes, prendre le problème par la contraposée est la bonne solution, vu que notre premiere proposition concerne une fonction "non bornée" et qu'elle nous donne "l'existence" d'un x (et ceci quelque soit la fonction f)

Cependant, on revient au tout premier problème que j'ai eu en voulant définir ma suite Un grace au x. Car a priori défnir ma suite de cette manière semble être la seul manière d'obtenir une information sur f(Un) (malheureusement insuffisante comme vu précedemment).

Donc pour cela je pense qu'il faut que je reflechisse sur la deuxieme proposition :

Pour x dans ]0,1/n²[, montrer l'existence de p(x) dans N \ {0 et 1}

tel que (p(x) - 1)x <= 1/n^2 < p(x)x

Pourrait tu m'orienter sur cette proposition (que j'ai déja démontrer) ? Je n'arrive pas du tout à faire de lien avec mon probleme de base...

[invite57a1e779]

Pourrait tu m'orienter sur cette proposition (que j'ai déja démontrer) ? Je n'arrive pas du tout à faire de lien avec mon probleme de base...

Tu as

Pour tout n dans N*, il existe x dans ]0,1/n2[, tel que f(x) > nx

qui permet de définir comme tu l'envisages dans ton premier message, et

Pour x dans ]0,1/n2[, montrer l'existence de p(x) dans N \ {0 et 1}
tel que (p(x) - 1)x <= 1/n2 < p(x)x

qui permet de définir un entier .
Il faut alors envisager la suite dont les termes sont : , où le terme est répété fois.
La série converge, mais la série diverge...

[inviteedb947f2]

Super merci !
J'ai mis un bon petit quart d'heure pour bien saisir ta démarche mais j'y suis et je peut donc démontrer convergence de Un et non convergence de f(Un) grâce à la combinaison des deux propositions !

Encore merci à toi !