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Base de matrice



  1. #1
    alphons

    Base de matrice


    ------

    Bonjour,

    Voici mon petit problème :

    On a E un K-EV de dim=3, B=(e1,e2,e3) une base de E.
    On a la mtrice A écrite dans B :
    -3 -2 -3
    -2 6 6
    2 6 -2

    Il faut déterminer une base C=(c1,c2,c3) telle que la matrice soit :
    1 0 0
    0 2 0
    0 0 4

    Résolution :
    J'ai calculé le polynôme caractéristique = (1-X)(4-X)(2-X) (j'ai vérifié à la calculette).
    Les valeurs propres sont 1,4,2.
    Il existe une base C dans laquelle A soit diagonale.

    Ensuite, comment peut on la trouver directement ?
    Merci !

    -----

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Base de matrice

    Salut,

    C'est la base formée des vecteurs propres associés aux valeurs propre que tu as trouvées. (à l'ordre des vecteurs près)

  4. #3
    alphons

    Re : Base de matrice

    Salut,

    Je doit résoudre AX=(lamda)X, mais ça me donne les vecteurs propres et non la base ?? Je tourne autour du pot !

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Base de matrice

    Si, ça te donne la base car ses trois vecteurs sont les trois vecteur propres...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    alphons

    Re : Base de matrice

    Désolé mais je ne vois pas...

  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Base de matrice

    Si on note les trois vecteurs propres de ta matrice u1 u2 et u3, une base dans laquelle ta matrice est diagonale est (u1,u2,u3) et les coefficients sur la diagonale seront les valeurs propres correspondant à chaque vecteur.

    : valeur propre associée à ui


    Si on change l'ordre des vecteurs de la base, ça modifie uniquement l'ordre des coefficients de la diagonale :

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  10. #7
    alphons

    Re : Base de matrice

    Salut,

    Oui, ça j'ai compris.

    La réponse à mon prblème est : ε1 =e1 −2e2 +2e3,
    ε2=e1 −e2 +e3 et ε3 =e1 −2e2 +e3.

    Mais comment le lit-on ? ... Désolé pour cette question bête...
    Merci !

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Base de matrice

    Je ne comprend pas ta question. Qu'entends-tu par "lire" ?

  12. #9
    alphons

    Re : Base de matrice

    J'ai peut être compris.

    On résout AX=(lamba)X avec lamba les 3 valeurs propres à savoir 1, 4 et 2.

    On va donc trouver 3 vecteurs qui sont solutions de AX=(lamda)X.

    Ces 3 vecteurs sont alors ε1 =e1 −2e2 +2e3, ε2=e1 −e2 +e3 et ε3 =e1 −2e2 +e3.

    Est ce ça ? Ou j'ai toujours rien compris ?

    Merci,
    ps : je n'ai pas vérifié, c'est juste mon raisonnement.

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