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matrice et nouvelle base



  1. #1
    cranberry

    matrice et nouvelle base


    ------

    bonjour jai un doute sur une question pour cet exo ;
    soit u : R^3 -> r^3 application lineaire dont la matrice dans la base canonique est :
    A:=
    (5 -8 14)
    (4 -7 13)
    (1 -2 4 )
    il faut determiner la matrice B de u dans la base f1 f2 et f3 avec :
    f1 = (2 3 1)
    f2 = ( 2 1 0)
    f3 = (-1 1 1)
    voila jai essaye plusieurs solutions mais je n aboutis pas a avoir une expression des vecteurs colonnes en fontcion de la base F

    -----

  2. #2
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Salut,

    Moi ce que je ferais :

    1) J'exprimerais f1,f2,f3 dans la base de départ (c'est immédiat vu que c'est la base canonique)
    2) Je prend l'image de f1,f2,f3 par la matrice
    3) J'exprimer le vecteur résultant dans la base {f1,f2,f3} et je mets les composantes qui en résultent en colonne dans la matrice

  3. #3
    cranberry

    Re : matrice et nouvelle base

    jai fait tes 2 premieres etapes,
    mais je ne comprends pas bien la 3e, par ex si on essaie avec f3 on botient apres le 2 le vecteur (1 3 4).. mais apres ?

  4. #4
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    tu dois trouver des scalaires a,b et c tels que

    (1,3,4) = af1 + bf2 + cf3

    c'est dire résoudre le système :

    1 = 2a + 2b -c
    3 = 3a + b + c
    4 = a + c

    Et donc (a,b,c) ce sera ton vecteur exprimé dans la base {f1,f2,f3}
    Il faut faire de même avec les trois autres vecteurs.
    C'est assez pénible mais bon, pas le choix

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Utilise la matrice de passage (les 3 vecteurs f1,f1,f3 mis en colonne)
    Et la formule de changement de base te donne:
    A'=P-1AP

    (P mat de passage, A la mat de u dans l'ancienne base, A' celle de u dans la nouvelle).
    Cogito ergo sum.

  7. #6
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Mais là il faut calculer l'inverse d'une matrice 3x3, c'est la mort (un logiciel de calcul formel aide bien mais ... )

  8. #7
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Ben non c'est pas la mort, il suffit d'inverser le système par la méthode de Gauss...
    Cogito ergo sum.

  9. #8
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Oui mais bon ... moi j'aime encore mieux ma méthode la

  10. #9
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Ma foi...
    Si on a inventé les matrices de passage c'est pas pour se regarder dans le blanc des yeux!
    Cogito ergo sum.

  11. #10
    cranberry

    Re : matrice et nouvelle base

    merci ledescat, en tout cas inverser la matrice me semble + judicieux ici , c'est + rapide (pour ma part en tout cas)
    merci bleyblue

  12. #11
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Je viens de regarder la méthode de Beyblue, c'est fondamentalement la même que calculer P-1AP mais en se compliquant la vie.
    Cogito ergo sum.

  13. #12
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Se compliquer la vie, secompliquer la vie ... c'est vite dis

    Je préfère ma méthode (plus jolie selon moi) et puis calculer des inverses de matrice j'aime pas ça.

    Citation Envoyé par Ledescat
    Ma foi...
    Si on a inventé les matrices de passage c'est pas pour se regarder dans le blanc des yeux!
    Ben il existe toujours différentes méthodes de toute façon. Pour calculer un déterminant par exemple j'en connais au moins 3 (4 si on compte Sarrus), il n'empêche qu'on en préfère certaines à d'autres pour des questions de facilité.

  14. #13
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Tu n'aimes peut-être pas inverser des matrices certes, mais sache que lorsque tu résouds le système en a,b,c, tu inverses en fait une matrice, bonnet blanc, blanc bonnet!
    Cogito ergo sum.

  15. #14
    Al Miquiztli

    Re : matrice et nouvelle base

    Je suis assez d'accord avec ledescat, en utilisant la matrice de passage, ça marche bien. Après pour l'inversion, c'est une matrice 3*3, c'est pas non plus redoutable! Par contre la méthode Gauss, je la trouve un peu lourde. J'ai une autre "technique" à proposer pour l'inversion de P :
    Tu essaie de "récupérer" les vecteurs de la base canonique en faisant des combinaisons linéaires des colonnes de P, pour cela :
    tu essaie par exemple d'obtenir le premier vecteur de la base canonique, soit le vecteur colonne (1 0 0). Dans la deuxième ligne de P, tu as un 0, il va servir pour faciliter les calculs. On cherche la première colonne c1 de P-1, donc celle qui permet de récupérer le premier vecteur de la base canonique.
    Une CL des coeffs de la 1ère ligne (avec le vecteur colonne c1 que l'on cherche) fournissent le 1, une CL des coeffs de la ligne 2 fournissent le 0, une CL des coeffs de la ligne 3 fournissent le 2ème 0. On peut déterminer la "proportion" des deux premiers coefficients de c1 en observant la CL avec les coeffs de la 2ème ligne. Cette Cl doit donner 0, la ligne étant (2 1 0), la "proportion" entre les deux premiers coeffs de c1 est donc 1 -2. En regardant la CL avec la première ligne (2 3 1), on peut déterminer le 3ème coeff, qui est 3, car on souhaite récupérer 1 par la CL avec cette ligne. 1*2+(-2)*3+3*1=-1
    Ici, on a pas obtenu 1 mais -1, on mutiplie donc tous les coeffs par -1, pour obtenir 1. On vérifie avec la CL avec la 3ème ligne. Si cela ne marche pas il faut recommencer en multipliant les deux premiers coeff par un même nombre (en effet la CL avec la 2ème ligne est inchangée), évidemment ce nombre doit être choisi en conséquence pour que les autres CL fonctionnent.

    La première colonne c1 de P-1 est donc (-1 2 -3)
    On recommence pour les deux autres colonnes qui permettent de récupérer les vecteur colonnes (0 1 0) et (0 0 1) de la base canonique
    Au final on obtient :

    P-1=(-1 2 1)
    ( 2 -3 -2)
    (-3 5 4)

    La deuxième colonne est plus difficile à trouver car l'on souhaite obtenir 1 en faisant la CL avec la ligne 2 (celle contenant le 0), et non pas 0 comme avec la 1ère et la dernière colonne.
    On peut alors poser un système 3*3, et le résoudre avec les formules de Cramer (en calculant les déterminants par Sarrus)

    J'espère avoir été clair, c'est pas évident à expliquer comme ça par écrit.
    La technique peut sembler un peu compliquée mais en fait elle ne l'est pas, et est souvent plus pratique (quand on a un peu l'habitude) que la technique de Gauss qui peut être lourde (je ne l'ai jamais utilisée pour des inversions de matrices 3*3)

  16. #15
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Moi j'ai horreur d'inverser des systèmes, je me plante toujours avec une vieille erreur de calcul (rageant!), je tâcherai d'utiliser ta méthode .
    Cogito ergo sum.

  17. #16
    invite43219988

    Re : matrice et nouvelle base

    Bonjour
    Il y a aussi la méthode suivante pour inverser (qui évite de résoudre un système...) :

    A^(-1)=1/det(A) * transposée(comatrice(A))

    Ca parait compliqué comme ça mais c'est certainement pas plus long que de résoudre le système une fois qu'on a compris le principe...

  18. #17
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Bon, il n'empêche que moi, je préfère ma méthode, que ça revienne au même ça paraît évident vu que le résultat final est le même

    Sinon pour inverser une matrice A vous pouvez aussi utiliser la définition (bien lourde) du déterminant :



    Ou S(n) désigne le groupe symétrique sur n et sgn(Pi) désigne le signe de la permution pi
    Mais bon ... j'ai jamais essayé, et c'est pas demain la veille que je commencerai

  19. #18
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Bon, il n'empêche que moi, je préfère ma méthode, que ça revienne au même ça paraît évident vu que le résultat final est le même

    Sinon pour inverser une matrice A vous pouvez aussi utiliser la définition (bien lourde) du déterminant :



    Ou S(n) désigne le groupe symétrique sur n et sgn(Pi) désigne le signe de la permution pi
    Mais bon ... j'ai jamais essayé, et c'est pas demain la veille que je commencerai
    Tu sais comme nous que cette formule n'est (presque) jamais utilisée en pratique, et qu'il y a les développements par ligne/colonne et autres techniques.
    Tu persistes donc à défendre ta méthode, mais moi je persiste à te dire que ce que tu fais revient au même que d'inverser une matrice de passage: résoudre ton système en a,b,c, c'est inverser une matrice !
    Cogito ergo sum.

  20. #19
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Je ne vois pas en quoi ce que tu dis est vrai mais peu importe car ce que je veux dire quand je dis que je préfère ma méthode c'est que le calcul à effectuer est plus agréable.
    Résoudre des systèmes je suis driller, tandis qu'inverser une matrice non.

    Maintenant si vous préférez inverser votre matrice moi ça m'est égale hein

  21. #20
    Romain-des-Bois

    Re : matrice et nouvelle base

    Je n'en reviens pas du nombre de messages échangés pour simplement dire : "ma méthode, c'est la mieux"

    enfin


    Romain

  22. #21
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Mais je ne dis pas ça.
    Je dis juste que je préfère ma méthode à moi ... je peux non ?

  23. #22
    Al Miquiztli

    Re : matrice et nouvelle base

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Bonjour
    Il y a aussi la méthode suivante pour inverser (qui évite de résoudre un système...) :

    A^(-1)=1/det(A) * transposée(comatrice(A))

    Ca parait compliqué comme ça mais c'est certainement pas plus long que de résoudre le système une fois qu'on a compris le principe...
    C'est quand même assez long dans le sens où il y a pas mal de déterminants à calculer, même s'ils ne sont pas difficiles à calculer.
    Pour une matrice 3*3 simple il faut calculer det(A), plus 9 mineurs pour la comatrice, plus la transpo. Ce qui fait un calcul de 10 déterminants plus des opérations élémentaires (additions, multiplications), notamment le signe devant le mineur (qu'il faut déterminer à chaque fois) dans l'expression de la comatrice.

    Je peux affirmer que ma méthode est plus efficace surtout quand la matrice à inverser est "creuse" (il suffit qu'il y ait par exemple un 0 dans deux des trois lignes), où il suffit de 2 minutes pour inverser la matrice. Si quelqu'un prend le temps d'essayer ma méthode, il pourra vérifier.
    Après il est clair que quand la matrice ne contient aucun 0, elle est beaucoup moins efficace, et il vaut mieux poser un système ou utiliser la méthode de Gauss pour se ramener à la matrice In.

  24. #23
    Ledescat

    Re : matrice et nouvelle base

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Je n'en reviens pas du nombre de messages échangés pour simplement dire : "ma méthode, c'est la mieux"

    enfin


    Romain
    Non, ce n'est pas une histoire de méthode, c'est qu'il persiste à mettre en opposition inversion de système et inversion de matrices alors que c'est exactement la même chose !
    Cogito ergo sum.

  25. #24
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Moi je ne met rien en opposition

    Je dis juste que point d'un point de vue calculatoir il y a une différence entre les deux méthodes en question. Maintenant si tu dis que résoudre un système revient à inverser une matrice je veux bien le croire ...

  26. #25
    ericcc

    Re : matrice et nouvelle base

    Oui Bleyblue, il n'y a pas de différence entre résoudre un système linéaire et inverser une matrice....désolé

  27. #26
    Bleyblue

    Re : matrice et nouvelle base

    Mais enfin je ne dis pas le contraire.
    Je pense que je n'arriverai pas à me faire comprendre donc il vaut mieux que je laisse tomber

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