Matrice, changement de base

[herman]

Bonsoir,

Je suis à la recherche d'un exemple détaillé d'un changement de base et d'une nouvelle matrice.

Depuis ce midi je bosse et à chaque fois que je reviens dessus je ne comprends pas le principe (faut dire qu'on a pas le cours qui va avec) et je ne trouve aucun exemple détaillé (c'est à dire un peu + long que l'énnoncé et la réponse brut) concernant de sujet. (et les cours que je trouve dessus me conduisent à des résultats éronnés).

Je vous remercie d'avance.
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[invite6909706f]

Voilà un exemple:

Soit un homorphisme F ainsi que V et W deux K-espaces vectoriels, la base Bv=(1, x, x^2, x^3) et la base de W Bw=(1,x,x^2)

F:V-->W
p(x)--->p'(x)
Ainsi la matrice M1 par rapport aux bases Bv et Bw est:

(0; 1; 0; 0)
(0; 0; 2; 0)
(0; 0; 0; 3)

F(1) F(x) F(x^2) F(x^3)

Maintenant tu veux écrire cette matrice par rapport aux bases Bv'=(1, x, x^2, x^2+x^3) et Bw'=(1, x, x+x^2)

Il existe deux isomorphismes f et g, tels que:

f:V'--->V, la matrice de passage P est:

(1 ; 0; 0; 0)
(0 ; 1; 0; 0)
(0 ; 0; 1; 0)
(0 ; 0; 1; 1)


g:W'--->W, la matrice de passage P' est:

(1 ; 0; 0)
(0 ; 1; 0)
(0 ; 1; 1)


La matrice M2, représentative de f par rapport aux bases Bv' et Bw' est de:

M2= P'^-1 M1 P

J'espère ne pas avoir fait d'erreur

[invite0076beb8]

je crois que quand on parle de changement de base, on veut avant tout garder le meme espace, mais juste essayer de voir les choses sous un autre angle



Si j'ai un espace vectoriel, par exemple , muni de la base la plus simple que je connaisse:
,,

et qu'on a une application linéaire de dans , ou est un autre espace comme par exemple avec lui aussi sa propre base (notée ))

Cette application peut-être vue comme une matrice qui associe à un vecteur de (écrit dans la base de départ) un autre vecteur de (écrit dans la base d'arrivée des )

C'est une matrice (2,3) que l'on peut écire sous cette forme:



Un changement de base, c'est regarder la même application mais en utilisant un système de coordonnées différentes, c'est à dire une base différente. Par exemple, on peut considérer qu'au lieu d'être debout dans je suis allongé sur mon lit. Autrement dit si ma tête c'est (cest bien le vecteur vers le "haut"), mon pied gauche et mon pied droit ; et que donc je m'allongede côté: ma tête sera au sol et j'aurais un pied qui n'aura pas bougé alors que l'autre sera vers le "haut" à son tour:


ma tête passe de à
mon pied droit monte au ciel: de vers
et mon pied gauche ne bouge pas

(je sais c'est moche mais faites un petit dessin vous verrez c'est tout simple)

Bien, maintenant que je suis allongé, je regarde la même application que tout à l'heure... mais de mon point de vue, elle a totalement changé! c'est le changement de base qu'on va calculer:

En effet on avait et cela ne va pas changer (on ne touche pas à la base d'arrivée.)

Mais en terme de matrice, ca ne vas pas du tout! puisque : il faut donc changer de base. Pour cela, on va d'abord trouver l'application qui envoie sur écrite dans la base appelée matrice de passage de à elle est tout simple:


Cette matrice donne l'écriture dans d'un vecteur dont on connait l'écriture dans .

cette matrice est inversible d'inverse qui sert à faire le passage de à .

on a donc (ou la base dans laquelle est écrite est indiquée en indice; étant un vecteur bien défini qui peut s'écrire de pleins de mainères différentes selon la base dans laquelle on est):

et


Enfin (on touche au but) si l'on veut voir de la position allongée l'application , il faut qu'on l'écrive dans la base .



et ainsi de suite:




Ensuite, on peut vouloir changer la base d'arrivée, avec une matrice de changement de base , et cela donne dans les nouvelles bases, la matrice

Enfin, et c'est le cas le plus récurrent, on peut vouloir regarder un endormorphisme (c'est à dire que l'espace d'arrivée est le même ) sous un angle différent, et alors on utilise le changement de base:

[invite6909706f]

je crois que quand on parle de changement de base, on veut avant tout garder le meme espace, mais juste essayer de voir les choses sous un autre angle

Mon homorphisme garde le même espace, la matrice est juste représentée par des bases différentes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0076beb8]

oui excuse moi je me suis fourvu