Projecteur orthogonal

[invite51a3f1d4]

Bonjour !
C'est certainement très bête mais comment fait-on pour démontrer que pour un projecteur orthogonal p sur une droite vectorielle :
Somme((norme(p(ei)))^2,i=1..n) =1 ; (ei)i est une base orthonormée
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[cedbont]

Bonjour,
tu as une base orthonormée (e₁,e₂,...,e_d,...,e_n) de ton espace de dimension n avec e_d un vecteur directeur de la droite représentant Im(p).
On a quelque soit i de [[1,n]]\{d}, p(e_i)=0. Donc tu simplifies ta somme et c'est bon car p(e_d)=e_d.

[invite51a3f1d4]

euh je comprends pas pourquoi p(ei)=0 ; (ei)i est une base orthonormée quelconque, on n'a pas forcément ei scal ed = 0 , non ?

[cedbont]

Une base orthonormée est une base de vecteurs orthogonaux entre eux et normés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a3f1d4]

Oui ça je sais (lol). Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi ed fait partie des vecteurs de la base orthonormée. La base (ei)i est une donnée. On a plutot p(ei)=(ei scal ed)ed, mais après ?

[cedbont]

Et oui, mais moi je triche ! Non, je rigole. Si ton espace est de dimension n et que tu as une famille libre de n vecteurs, alors cette famille forme une base de l'espace vectoriel. Donc, moi je choisis ma propre base :

une base orthonormée (e₁,e₂,...,e_d,...,e_n) de ton espace de dimension n avec e_d un vecteur directeur de la droite représentant Im(p)

Et cette base me permet de dire que quelque soit i de [[1,n]]\{d}, <e_i,e_d>=0.
D'où le résultat.

[invite51a3f1d4]

Ah mais non voila le truc c'est de le démontrer avec une base quelconque ; autrement, c'est sur c'est pas violent

[erff]

Reste à prendre une BON quelconque (f1,...,fn), on a la relation :
P*e1=f1
P*e2=f2
.
.
P*en=fn
avec P orthogonale

on a donc somme(||p(fi||²)=somme(||p(P*e i)||²) et comme P conserve la norme......

EDIT : att non jdis une connerie là...

[cedbont]

Bon Ok, autre méthode :
||p_(ei)||² = ||<e_i,e_d>.e_d||² = |<e_i,e_d>|² = ||<e_i,e_d>.e_i||² = ||e_d||² = 1

[invite51a3f1d4]

euh 1ere,2eme égalité ok
3eme égalité si tu veux ...
4,5eme égalité ???

[cedbont]

Prends les 4. et 5. à l'envers :
1 c'est la norme de e_d (ahhhhhh il n'y a pas le signe somme dans l'avant dernier membre : vive le copier-coller !) et e_d c'est sa projection sur une BON.

PS : il faudra aussi utiliser le théorème de Pythagore en BON.

[invite51a3f1d4]

Tu peux préciser comment on conclue avec le théorème de Pythagore, svp ?

[cedbont]

Ben c'est pour ça : ||<ei,e_d>.ei||² = ||e_d||²
La somme des carrés est égale au carré de la somme.

[invite51a3f1d4]

Désolé je t'embete mais pourquoi a t-on :
Somme((ei scal ed)ei,i=1..n)=ed

[erff]

Décompose ed dans la base (e1,...,en) qui est orthonormée

[invite51a3f1d4]

Ahhhhh ça y est tout s'éclaire merci erff et cedbont. Finalement c'était pas si débile que ça. Bonne journée !