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Projecteur orthogonal



  1. #1
    Coco Beach

    Projecteur orthogonal


    ------

    Bonjour !
    C'est certainement très bête mais comment fait-on pour démontrer que pour un projecteur orthogonal p sur une droite vectorielle :
    Somme((norme(p(ei)))^2,i=1..n) =1 ; (ei)i est une base orthonormée

    -----

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  3. #2
    cedbont

    Re : Projecteur orthogonal

    Bonjour,
    tu as une base orthonormée (e1,e2,...,ed,...,en) de ton espace de dimension n avec ed un vecteur directeur de la droite représentant Im(p).
    On a quelque soit i de [[1,n]]\{d}, p(ei)=0. Donc tu simplifies ta somme et c'est bon car p(ed)=ed.

  4. #3
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    euh je comprends pas pourquoi p(ei)=0 ; (ei)i est une base orthonormée quelconque, on n'a pas forcément ei scal ed = 0 , non ?

  5. #4
    cedbont

    Re : Projecteur orthogonal

    Une base orthonormée est une base de vecteurs orthogonaux entre eux et normés.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    Oui ça je sais (lol). Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi ed fait partie des vecteurs de la base orthonormée. La base (ei)i est une donnée. On a plutot p(ei)=(ei scal ed)ed, mais après ?

  8. #6
    cedbont

    Re : Projecteur orthogonal

    Et oui, mais moi je triche ! Non, je rigole. Si ton espace est de dimension n et que tu as une famille libre de n vecteurs, alors cette famille forme une base de l'espace vectoriel. Donc, moi je choisis ma propre base :
    une base orthonormée (e1,e2,...,ed,...,en) de ton espace de dimension n avec ed un vecteur directeur de la droite représentant Im(p)
    Et cette base me permet de dire que quelque soit i de [[1,n]]\{d}, <ei,ed>=0.
    D'où le résultat.

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  10. #7
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    Ah mais non voila le truc c'est de le démontrer avec une base quelconque ; autrement, c'est sur c'est pas violent

  11. #8
    erff

    Re : Projecteur orthogonal

    Reste à prendre une BON quelconque (f1,...,fn), on a la relation :
    P*e1=f1
    P*e2=f2
    .
    .
    P*en=fn
    avec P orthogonale

    on a donc somme(||p(fi||²)=somme(||p(P*e i)||²) et comme P conserve la norme......

    EDIT : att non jdis une connerie là...

  12. #9
    cedbont

    Re : Projecteur orthogonal

    Bon Ok, autre méthode :
    ||p(ei)||² = ||<ei,ed>.ed||² = |<ei,ed>|² = ||<ei,ed>.ei||² = ||ed||² = 1

  13. #10
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    euh 1ere,2eme égalité ok
    3eme égalité si tu veux ...
    4,5eme égalité ???

  14. #11
    cedbont

    Re : Projecteur orthogonal

    Prends les 4. et 5. à l'envers :
    1 c'est la norme de ed (ahhhhhh il n'y a pas le signe somme dans l'avant dernier membre : vive le copier-coller !) et ed c'est sa projection sur une BON.

    PS : il faudra aussi utiliser le théorème de Pythagore en BON.

  15. #12
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    Tu peux préciser comment on conclue avec le théorème de Pythagore, svp ?

  16. Publicité
  17. #13
    cedbont

    Re : Projecteur orthogonal

    Ben c'est pour ça : ||<ei,ed>.ei||² = ||ed||²
    La somme des carrés est égale au carré de la somme.

  18. #14
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    Désolé je t'embete mais pourquoi a t-on :
    Somme((ei scal ed)ei,i=1..n)=ed

  19. #15
    erff

    Re : Projecteur orthogonal

    Décompose ed dans la base (e1,...,en) qui est orthonormée

  20. #16
    Coco Beach

    Re : Projecteur orthogonal

    Ahhhhh ça y est tout s'éclaire merci erff et cedbont. Finalement c'était pas si débile que ça. Bonne journée !

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