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Groupe spécial orthogonal ...



  1. #1
    LocalStone

    Groupe spécial orthogonal ...


    ------

    Bonsoir à tous, j'ai une question sur les groupes spéciaux orthogonaux ... En fait, même deux questions, je dirais ...
    Alors d'abord, qu'est ce que c'est ? Clairement, comment on peut les caracteriser ?
    La seconde question ... J'ai vu qu'il existait le groupe SO(1), SO(2) et SO(3) ... Mais SO(n), ça existe ? Et si c'est le cas, les matrices de rotations et les autres applications, elles ressemblent à quoi ?
    Merci !
    ++

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Quand tu as une ev (dimension n) muni d'un produit scalaire, les endomorphismes qui conservent ce produit scalaire sont dits orthogonaux, ils forment un sous gruope de GL(n). On l'appelle le groupe orthogonal O(n).

    Le groupe spécial orthogonal ce sont les endo du groupe orthogonal qui ont pour determinant 1. On le note SO(n).

    Pour n=1,2,3 on peut les classifier "facile", rotations et tout le blabla.

    En dimension supérieures les classifications doivent être plus balèzes et de toute façon on s'en tape puisque ça sert pour modeliser des transformations de la vie réelle, et jusqu'à preuve du contraire on vit en trois dimensions
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    LocalStone

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Ha haaa ! Bah si ... Déjà, j'ai vu SO(32) dans un article sur la théorie des cordes ... Mais bon. Mais surtout, mon TIPE va porter sur un moteur 3D, et je dois utiliser les matrices de rotation et de translation. Et pour un espace ismoétrique, SO(3), ça suffit, mais si je prends en compte la perspéctive et les points de fuite, bah faut que j'aille jusqu'à SO(4) ...
    ++ !

  5. #4
    LocalStone

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Personne ne sait quoi que ce soit ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Salut,

    pour un espace vectoriel (IR4 si tu veux ) muni d'un produit scalaire, l'ensemble des transformations qui conservent le produit scalaire (et donc les longueurs) forment le groupe orthogonal O(n, IR). Les matrices qui représentent ces transformations vérifient .

    Si ton ev est défini sur IR, tu voudras certainement conserver en outre l'orientation des angles: dans ce cas les déterminants des matrices orthogonales doit être 1: c'est le groupe spécial orthogonal noté SO(n, IR).

    Cordialement.

    PS: les physiciens abrègent souvent et écrivent O(n) et So(n) en place de O(n, IR) et SO(n, IR).

  8. #6
    LocalStone

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Merci martini_bird ... Est-ce que tu as des exemples de matrice de transformations pour SO(4) ou plus ... Parce que je trouve paaaas ... ...
    Merci (et désolé de pourir le forum avec mes questions poubelles ...).

  9. Publicité
  10. #7
    evariste_galois

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Citation Envoyé par LocalStone
    Merci martini_bird ... Est-ce que tu as des exemples de matrice de transformations pour SO(4) ou plus ... Parce que je trouve paaaas ... ...
    Merci (et désolé de pourir le forum avec mes questions poubelles ...).
    Tu veux des exemples de matrices inversibles, d'inverse égal à leur transposée, et de déterminant égal à 1, c'est bien ça?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  11. #8
    GuYem

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    C'est la définition de SO(4)
    Avec des sqrt(1/4), des sqrt(1/2) et des zeros bien placés on doit s'en sortir..
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    evariste_galois

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Citation Envoyé par GuYem
    C'est la définition de SO(4)
    Avec des sqrt(1/4), des sqrt(1/2) et des zeros bien placés on doit s'en sortir..
    Un premier exemple, trouvé après avoir déployé de nombreux efforts intellectuels : I(4) (matrice identité d'ordre 4).
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  13. #10
    martini_bird

    Re : Groupe spécial orthogonal ...

    Salut,

    mieux encore: SO(4) est définie par des équations polynomiales, ce qui en fait une variété algébrique affine.

    Bref, comme l'a dit evariste_galois, tu poses une matrice 4x4 et lui imposes les conditions d'inversibilité, etc. Tu peux ensuite paramètrer tes matrices et tu as l'ensemble de tes transformations en fonction d'un nombre fini de paramètres.

    Reste à les interpréter: changement d'orientation, etc. Autrement dit: à quels invariants tu accordes de l'importance?

    Cordialement.

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