Montrer que A est nulle

[invite02f19616]

Bonsoir,
j'aurai besoin d'aide sur la question 3... j'ai essayé d'appliquer a un polynome annulateur scindé simple, au polynome caractérsitique de B... Je n'aboutie jamais,
merci de votre aide
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[invite02f19616]

Je me permet de relancer mon mesage maintenant que la pièce jointe est dispo!

[bubulle_01]

Si B est diagonalisable, alors il existe P polynome scindé à racines simples tel que P(B)=0, ce qui se traduit facilement en fonction de A.
Maintenant, considère une vap non nulle de A et X un vecteur propre de A pour cette vap et exprime AP'(A)X en fonction de cette vap.

[invite02f19616]

Merci de ton aide bubulle! Donc en faisant ce que tu conseil:
Je note P(X)=a0+a1X+...+anX^n
ça me donne, avec v une valeur propre non nulle,
AP'(A)X=a1.X+2.v.a2.X+...+n.v^ n.an.X=0
J'aimerais trouver une absurdité (ce qi impliquerait que v=0 donc A=0)
puis-je dire que ceci est un polynome en v donc que tous ces coefs st nuls donc que P est nul??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02f19616]

Un dernier up ^^

[bubulle_01]

As-tu correctement exprimer P(B) en fonction de A, P(A) et P'(A) ?
Une fois ceci fait, calcule AX , A²X et plus généralement A^k X et déduis en AP'(A)X en fonction de lambda (où X est vep pour la vap lambda supposée non nulle de A).

Si ce n'est pas clair, je t'indiquerai plus clairement

[invite02f19616]

Ben il me semble que oui, P(B) c'est la matrice P(A), 0, AP'(A), P(A) qui est aussi la matrice nulle donc P(A)=AP'(A)=0
apres P(A)=a0.I+a1A+...+anA^n
puis AP'(A) ça me donne bien ce que j'ai noté non?

[bubulle_01]

Ce que tu as écrit est bon. Mais tu peux rendre son écriture beaucoup plus simple (excuse moi d'avoir mal lu ta réponse ...).

Indication si tu ne trouves vraiment pas :

 Cliquez pour afficher

Mettre X en facteur et écrire la somme développée de facon formelle pour reconnaitre une écriture connue en fonction de

[invite02f19616]

Pardon je me rend compte que j'ai mal recopié mon AP'(A)X ce serait plutôt
= a1.v.X + a2.v^2.X+ ...+ an.v^n.X=0=X.(P(v)-a0)
c'est ça?

[bubulle_01]

Euh non, ce n'est pas correct, tu as oublié que les coefficients sont les
Tu as
Ca ne te fait penser à rien ?

[invite02f19616]

Rooo oui autant pour moi la bonne réponse était un mix entre ma 1ère écriture et ma deuxième!
On retrouve P'(v) non? Donc c'est a dire que v n'est plus racine simple donc P n'est plus scindé simple! Absurde!

[bubulle_01]

On retrouve
Mais le premier est un réel, le second un vecteur non nul.
De plus est supposée non nulle.
Donc
Mais en tant que vap, est racine de P (simple).
Mais elle est aussi racine de P', ce qui constitue une contradiction.
Donc ?

[invite02f19616]

Pourquoi ne pas considérer que v est quelconque et on en déduit de l'égalité qu'elle est nulle?
Et donc dans les deux cas A=0 car A=v.In/2

[invite57a1e779]

Les polynômes et sont deux polynômes annulateurs de , donc multiples du polynôme minimal de .
Du fait que est scindé à racines simples, et sont premiers entre eux, et tu en déduis que le polynôme minimal de est , donc que est nulle.

[invite02f19616]

Ah oui c'est joli comme ça! J'aime bien! Merci God's breath
par contre la notion de polynôme premier entre eux je sais pas si j'y ai le droit, je demandrai.

[bubulle_01]

Pourquoi ne pas considérer que v est quelconque et on en déduit de l'égalité qu'elle est nulle?
Et donc dans les deux cas A=0 car A=v.In/2

Car dans ce cas là on ne peut pas déduire de que

Mais après c'est sûr qu'une fois qu'on à l'idée on a juste à ajuster le tout.

[invite02f19616]

Car dans ce cas là on ne peut pas déduire de que

Mais après c'est sûr qu'une fois qu'on à l'idée on a juste à ajuster le tout.

Justement P'(v)=0 est une absurdité donc on ne devrait pas le dire donc la seule solution serait que v=0
non?

[invite02f19616]

En tout cas merci beaucoup de ta patience! Je reconnais ne pas avoir été brillant du tout sur cet exo pas si difficil...
Merci!