Modélisation des signaux à bandes étroites

[invite0e188b54]

Bonjour,

Je sollicite votre aide aujourd'hui pour un exercice de Traitement du signal qui s'apparente plus à un exercice de maths qu'à autre chose!

Voici l'énoncé :

Le signal analytique z(t) associé au signal x(t) est défini tel que sa transformée de Fourier vérifie Z(f) = 2U(f)X(f) = X+(f)
avec U(f) l'échelon dans le domaine fréquentiel (1 si f supérieur ou égal a 0, et 0 ailleurs) et X+(f) la partie du spectre de X(f) pour laquelle les fréquences sont positives.

1) En utilisant la formule Re{z(t)} = (z(t) + z*(t)) / 2, calculer la TF de la partie réelle de z(t). En déduire Re{z(t)} = x(t)

Cette partie là, je l'ai faite sans problème!


2) En vous inspirant de la question 1), montrer que la partie imaginaire de z(t) est donnée par : -jSgn(f)X(f), où la fonction Sgn(f) est définie telle que Sgn(f) = 1 si f > 0 et -1 si f < 0!

Mouai, un indice?
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[acx01b]

salut

que vaut z(t) - conj{z(t)} ?

ensuite tu passes en fréquentiel

[invite0e188b54]

En effet, ton idée est bonne!

J'ai utilisé la formule Im{z(t)} = (z(t) - z*(t))/2
En passant dans le domaine fréquentiel par la TF j'ai trouvé :

TF[Im{z(t)}] = X(f) (U(f) - U*(-f))

Après ce que j'ai du mal à voir, c'est ce que va donner U(f) - U*(-f), pour retomber au final sur Im{z(t)} = -jSgn(f)X(f)

[acx01b]

salut tu t'es juste planté ici :

y(t) = Im{z(t)} = (z(t) - z*(t))/(2i)

ce qui donne on est d'accord
Y(f) = 1/(2i) (Z(f) - Z*(-f)) = 1/(2i) (X(f)u(f) - X*(-f)u*(-f))

si x(t) est réel et sachant que u(t) est réel donc égal à son conjugué on a bien :
Y(f) = -i/2 .X(f) (u(f) - u(-f))

ensuite :
si f est positif ...
si f est négatif ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e188b54]

OK nikel j'y vois déja un peu plus clair!

La question suivante consiste à calculer la transformée de Hilbert et à démontrer qu'elle peut etre considérée comme un gain de filtre complexe.

Si je comprend bien, il faut que je fasse la TF inverse de Y(f) et ainsi je tomberai directement sur la partie imaginaire de z(t) à savoir la TH ?

[invite0e188b54]

salut tu t'es juste planté ici :

y(t) = Im{z(t)} = (z(t) - z*(t))/(2i)

ce qui donne on est d'accord
Y(f) = 1/(2i) (Z(f) - Z*(-f)) = 1/(2i) (X(f)u(f) - X*(-f)u*(-f))

si x(t) est réel et sachant que u(t) est réel donc égal à son conjugué on a bien :
Y(f) = -i/2 .X(f) (u(f) - u(-f))

ensuite :
si f est positif ...
si f est négatif ...

En réalité, quelque chose me pose problème dans ce que tu dis, car si un signal est réel alors X*(-f) = X(f) (c'est la symétrie hermitienne)! Donc comment justifie tu le passage de X*(-f)u*(f) à X(-f)u(-f) ?

[acx01b]

tu t'es planté dans le signe (et moi dans le divisé par 2)

X*(-f) = X(f) et u*(-f) = u(-f)
donc
Y(f) = 1/i (X(f)u(f) - X*(-f)u*(-f)) = - i .X(f) (u(f) - u(-f))
ce qui donne bien ce qu'on veut
Y(f) = -i sign(f) X(f)

[invite0e188b54]

Oui en effet, je voulais parler de X(f)u(-f)!

Je rencontre également un problème à la question suivante, qui me bloque dans mon DM :

La partie imaginaire de z(t) est notée |x(t)| et est appelée transformée de Hilbert de x(t). Ainsi z(t) peut s'écrire :
z(t) = x(t) + j|x(t)|

Montrer que la Transformée de Hilbert peut être considérée comme un filtre de gain complexe H_TH(f) = -jSgn(f)

Le problème étant que je n'ai jamais étudié cette transformée et que les formules trouvée sur les divers sites internet (http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...A9e_de_Hilbert par exemple) ne me parle absolument pas! Et surtout, je ne vois pas comment avec des Valeur de Cauchy, on peut arriver à retomber sur -jSgn(g)