Bonjours, je souhaiterais une aide sur une démonstration.

Voici le théorème et la partie a démontrer :

Soit U⊂Rn ouvert, a∈U
G , F :U -> Rq différentiable en a, f , g :U -> R différentiable en a
Alors :
1) F+G différentiable en a et (F+G)'(a)=F'(a)+G'(a)
2) f.g différentiable en a et (fg)'(a)=g(a)f'(a)+f(a)g'(a)
3) fg différentiable en a si g(a)≠0
4) F={f 1 ,... , fq} différentiable en a ⇔ f j différentiable en a (∀ j=1...q)

Je souhaite démontrer le petit 2), les autre ont étais démontré en cours. Mais je ne suis pas convaincue par ma démonstration, et je pense que il y a nettement plus simple ^^

-tout d'abords, j'ai montrer que f.g étais effectivement différentiable en a :
Comme f et g sont différentiable en a par hypothése, on peut ecrire :
f(x)=f(a)+Af(x).(x-a) et g(x)=g(a)+Ag(x).(x-a)
Avec Af et Ag des fonctions matricielles.
J'ai ensuite multiplier les 2 parties :
f.g(x)=f.g(a) + f(a).Ag(x).(x-a) + g(a).Af(x).(x-a) + Af(x).Ag(x).(x-a)²
de ce résultat, je n'en déduis que f.g est différentiable en a, mais je ne suis pas convaincu (le prof avait utilisé cette technique pour prouver que F+G est différentiable).

-Comme f.g est différentiable en a, f.g est continue en a et les dérivées partiel existe et se note ∂f.g/∂xj avec j=(1,...,n)

-La dérivé (f.g)'(a) coïncide avec la matrice jacobienne Jf.g(a) en a. De plus, comme f , g :U -> R, (f.g)'(a)=∇(f.g)(a).

Jf.g(a)=∂f.g/∂(x1,...,xn)=∇(f.g)(a)={∂ f.g/∂x1, ..., ∂f.g/∂xn}

Et à partir de la, je vois très mal comment conclure ^^ Pouvez vous m'aidez ?