Bonjour tout le monde.
Je suis en Hypokhâgne B/L et j'ai un DM à rendre pour la rentrée, je l'ai commencé mais je bloque sur pas mal de questions. Pourriez-vous m'aider, pour l'instant seulement pour les questions de l'exercice I ?
Voici ce que j'ai déjà fait :
Ex I
1) a)La fonction exponentielle est définie sur /R
La fonction logarithme népérien est définie sur /R+* donc la fonction qui à x associe ln(1+x) est définie sur /R+, de même pour la fonction qui à x associe mxln(1+x).
On en déduit que la composée de exp et mxln(1+x) est définie sur /R+.
D = /R+
b) ?
c) ? (J'aurais besoin de quelques pistes pour démarrer.)
d) Calculons la dérivée de fm :
- On pose u(x) = mxln(1+x)
u'(x) = mln(1+x) + mx * 1/(1+x)
d'où f'm(x) = [mln(1+x) + mx/(1+x)]*exp(mxln(1+x))
= [m(ln(1+x) + x/(1+x))]*exp(mxln(1+x))
On pose gm(x) = ln(1+x) + x/(1+x)
d'où : f'm(x) = mgmfm.
e) Montrons que gm est strictement croissante sur D.
Calculons la dérivée de gm :
g'm(x) = 1/1+x + 1/(1+x)²
Or x appartient à [0; +inf[, donc :
1/1+x > 0 sur D
1/(1+x)² > 0 sur D
g'm est positive sur D donc la fonction est strictement croissante sur D.
f) ?.
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