Equa diff second ordre avec second membre(qui est un produit polynome exponentielle)

[inviteef910046]

Bonjour, je ne suis pas très à l'aise avec les equations différentielles, on me demande justement d'en résoudre une, je ne suis pas sûr du raisonnement que j'ai eu, et ne sait trop comment le continuer, j'espere que vous serez en mesure de m'aider.(et sédolé pour le titre un peu lourd,mais précis )

Enoncé : On cherche les solutions fonctions de R dans R de l'équation différentielle suivante :



Je commence par poser l'équation homogène, et l'équation caractéristique:


2i et -2i racines évidentes de l'équation caractéristique.

On en déduit solutions générales de l'équation homogène E₀ de R dans C
solutions générales de l'équation homogène de R dans R
où A,B,C et D sont des constantes réelles

Dans ce passage je ne suis pas sur de bien passer des solutions définies dans C à celles définies dans R, si vous pouviez m'éclairer à ce sujet... Je crois me rappeler que la derniere solution s'obtient en extrayant la partie imaginaire et réelle de la premiere(et ensuite, je ne sais pas ce qu'on en fait, j'imagine qu'on les additionne, mais rien n'est moins sûr...)

Bref, si je ne me suis pas trompé, j'ai donc les solutions de l'équations homogène associée à l'équation différentielle recherchée.







Soit (E') tq:


Ayant la meme équation homogène et caractéristique associées que (E)

On remarque que 2i est racine simple de l'équation caractéristique associée à (E'), on cherche donc une solution particulière de (E') de la forme:

Et à partir de là, ça bloque...
Déjà parce qu'en intégrant y₁ dans l'équation (E') je trouve un résultat absurde (a et b en fonctions de x alors qu'elles sont censées être constantes)
Je pense que la forme de la solution n'est pas bonne... je n'ai pas bien saisi quel degré prendre pour le polynome entre les parenthèses, s'il était de degré 0 ce serait plus simple déjà je pense, mais pourquoi ce degré plutot qu'un autre...?


Je m'excuse d'avance pour le manque de rigueur qui doit figurer dans la rédaction, j'espere que ça ne gêne pas la compréhension du problème, et vous remercie d'avance pour m'aider à mieux digérer toutes ces informations que nous avons eu sur les équations différentielles.
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[invite0d212215]

Je ne sais pas si les résultats de la première partie sont bons, même si la raisonnement est bon (la résolution de l'équation homogène et la "transposition" vers R) mais pour la deuxième partie, la forme de la solution est bonne. Vérifie les calculs de dérivées, il est très probable qu'une erreur vienne de là.

EDIT : J'ai l'impression qu'il y a une petite imprécision en fait : A et B sont deux constantes complexes.

[inviteef910046]

Oulah, j'ai un peu honte d'avoir bloqué tant de temps sur une erreur aussi bête ^^'
Mes dérivées étaient bonne, mais j'ai mal abordé l'égalité entre mes deux équations au final.
Bref, je te remercie pour ton aide.