La poutre qui glisse.

[invite060a6bcf]

Bonjour à tous,

Une poutre, de longueur L, est posée le long d’une cloison parfaitement verticale. Supposant qu’elle glisse le long du parquet parfaitement horizontal, jusqu’à se retrouver le long du dit parquet, sans jamais perdre le contact avec la cloison, on peut l’assimiler à la tangente d’une courbe.

Pourriez-vous me donner quelques pistes pour calculer l’équation de cette courbe (qui me semble être une parabole ou peut être ¼ d’ellipse), et l’aire parcourue par la poutre, entre la cloison, la courbe et le parquet ?

D'avance merci.
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[invite754f3790]

c'est un sujet très classique de mécanique en physique.

[t3xane]

Salut,

Je suis vraiment pas sur de moi, mais je tente. Dis moi si ca
ne va pas. Pour resoudre ton probleme, j introduis H la distance
verticale effectuee par la poutre a un instant donne. Au depart,
la poutre est verticale, aucune distance effectuee, donc H = 0.
A la fin, la poutre est horizontale, elle a donc glisse verticalement
de H = L.

Aussi, soit W la distance horizontale effectuee par ta poutre a un
instant donne. On a donc pour l aire: A = ((L - H) * W) / 2 (c'est un
triangle rectangle), avec W = L^2 / (L^2 + H^2 - 2HL) (pythagore
avec hypothenuse == L et un cote (L-H) ).

A un instant donne, apres developpement de l equatiion ci dessus,
on a donc A = (L^3 - H * L^2) / (2 * H * (1 - 2L))

Pour trouver l aire totale, j integre pour une variation de H de 0 a L,
puisque la poutre passe d une position verticale ou H = 0 a une
position horizontale ou H = L.

Il se peut que je me sois trompe dans le developpement, voir dans
le raisonnement. Pour l integrale je ne pense pas que ca soit complique
a resoudre, mais je manque de temps ce soir.

Pour le probleme de la tangeante, je ne comprends pas ce que tu
entends par equation de la courbe. Si alpha l angle entre la poutre
et le sol, alors alpha varie de PI a 0 radians.

Hesites pas a dire si qqchose cloche ne va pas,

Fabien.

[t3xane]

Je relis et c'est plus simple que ca...

l aire est (h * racine(l^2 - h^2)) / 2,
c'est ca que tu dois integrer sur [0, l].

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite060a6bcf]

Merci t3xane,

Je viens de lire ta réponse et je vais l'étudier ce soir à tête reposée.

A+

[invite060a6bcf]

Salut,

On a donc pour l aire: A = ((L - H) * W) / 2 (c'est un
triangle rectangle), avec W = L^2 / (L^2 + H^2 - 2HL) (pythagore
avec hypothenuse == L et un cote (L-H) ).

..

Fabien.

Il me semble que au lieu de :
W = L^2 / (L^2 + H^2 - 2HL)
on a
W^2 = L^2 -(L^2 + H^2 - 2HL)=2HL - H^2

[invite060a6bcf]

c'est un sujet très classique de mécanique en physique.

Merci

On peut avoir une piste sur ce sujet classique ?

[invite9cf21bce]

Merci

On peut avoir une piste sur ce sujet classique ?

Bonsoir.

Je ferais comme ça.

Disons que la poutre est de longueur 1. Tu notes t l'abscisse (du point le plus loin du mur) de la poutre. Puisqu'on va ensuite paramétrer la courbe, je choisis t comme paramètre ("instant" dans ce qui suit).

Alors la droite supportant la poutre a pour équation :



Tu poses

Par convexité locale, le point de tangence à l'instant t est un point de la poutre qui est au-dessus de la poutre pour tous les instants voisins.
Si on note (x;y) ses coordonnées, on a donc :

• 
• Pour tout voisin distinct de ,

Autrement dit, t est un extremum local de , la valeur de cet extremum étant :

• 
• 

Puis :

 Cliquez pour afficher

Tu résous ce système en x et y pour trouver :

Taar.

[invite060a6bcf]

Merci bien Taar,

Je sens que je vais encore griffoner des tas de feuilles quadrillées, mais à première vue c'est ce que je demandais.
Une nouvelle fois, merci !