somme de variable aléatoire, fonctions génératrice, loi binomiale

[inviteb7283ac9]

Bonjour,

Voici la question à laquelle je souhaite répondre

La somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(n,p) et B(m,q) avec p different de q et p,q>0 peut etre elle de loi binomiale ?

D'après mon prof, c'est immédiat ou presque, il suffit d'utiliser les bons outils et les bon arguments...
Super comme aide !

J'étais parti sur la résolution d'un systeme, en effet :

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(n,p) et B(m,q) avec p different de q et p,q>0
et soit Z=X+Y
on rappelle que G_Z=G_X*G_Y (où G désigne la fonction génératrice)
On rappelle aussi que la fonction génératrice d'une variable aléatoire X suivant une loi Binomiale de parametres (n,p) est G_X(s)=(sp+1-p)^n

Je dis que si Z suit une loi Binomiale B(N,r), alors sa fonction génératrice G_Z vérifie G_Z(0)/0!=P{Z=0}=(1-r)^N
Or (G_X * G_Y) (0) =(1-p)^n * (1-q)^m
d'où (1-p)^n * (1-q)^m=(1-r)^N
D'autre part on peut établir E[Z] = E[X+Y]=E[X]+E[Y] d'où np+mq=Nr

Il faudrait montrer que le systeme constitué des 2 equations en gras n'a pas de solution et alors j'aurais montré que Z ne suit pas une loi binomiale
Mais ce systeme est un peu compliqué pour moi...

J'aimerai soit que vous m'aidiez à le résoudre (peut etre est-il nécessaire d'ajouter des equations....), soit que vous me donniez l'astuce qui à priori permet de répondre en quelques lignes à la question

Merci du temps que vous voudrez bien me consacrer
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[invite1237a629]

Salut,

Tu peux avoir une condition sur N :

Z peut prendre des valeurs entières de 0 à ...?
Et si Z suit une loi binomiale de paramètres (N,r), alors N=... ?

J'essaie de trouver pourquoi ça ne peut pas être une binômiale...

[inviteb7283ac9]

N est ds N*

[invite1237a629]

Oui d'accord...
Mais quelles sont les valeurs possibles pour Z=X+Y, sachant que X varie de 0 à n et que Y varie de 0 à m ?
Et donc que vaut N ?

Sachant qu'une va qui suit une loi binomiale de paramètres (N,r) prend ses valeurs dans 0,1,2,...,N

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7283ac9]

Oui d'accord...
Mais quelles sont les valeurs possibles pour Z=X+Y, sachant que X varie de 0 à n et que Y varie de 0 à m ?
Et donc que vaut N ?

Sachant qu'une va qui suit une loi binomiale de paramètres (N,r) prend ses valeurs dans 0,1,2,...,N

Z varie de 0 à n+m
dc N=n+m

[inviteb7283ac9]

et ensuite je réinjecte ça dans ma deuxieme equation et c'est dans la poche!
n'est ce pas !

[Guillaume69]

Bonsoir,

Plus simplement, ne peut-on pas remarquer que Z n'est pas une somme de (n+m) variables de Bernoulli identiques et indépendantes, donc que ce n'est pas une loi Binomiale ?

[Armen92]

Bonjour,

Voici la question à laquelle je souhaite répondre

La somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(n,p) et B(m,q) avec p different de q et p,q>0 peut etre elle de loi binomiale ?
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Pour ce genre de question, le plus simple est d'utiliser la fonction caractéristique (fc) en s'appuyant sur le fait que la fc de la somme de deux variables indépendantes est le produit des fc.

[invite986312212]

ou plutôt la fonction génératrice des probabilités, comme a fait Vince3001. Une autre approche: calculer moyenne et variance (facile, c'est la somme des moyennes et variances des deux lois) et voir qu'il n'existe pas de couple (N,P) tels que E(X+Y)=NP et Var(X+Y)=NP(1-P)

[invite1237a629]

fc ou fonction génératrice c'est kif kif ici

pour guillaume : là c'est de la logique.
si p=q, alors binomiales independantes X (n,p) Y (m,q) => X+Y suit une binomiale

Mais si p et q sont differentes ca n'implique pas que X+Y ne suit pas une binomiale.



Et oui, ce dont tu devras te servir, àmha, c'est :
- E(X+Y)=E(X)+E(Y) (ta deuxième equation)
- V(X+Y)=V(X)+V(Y)
- N=m+n

Essaie de bidouiller tout ça =)

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir,

EDIT : long message, mais qui ne répondait pas à la question...


Romain

[inviteb7283ac9]

Merci à tous pour votre participation, je crois en effet que je peux désormais répondre à la question

[inviteab60f771]

Bonjour,

vince3001: est ce que vous avez trouvé une solution car moi aussi je cherche la solution ?

merci