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Croissance de (1+1/n)^n



  1. #1
    Garnet

    Croissance de (1+1/n)^n


    ------

    Bonsoir,

    J'ai un petit soucis pour montrer que la suite (1+a/n)^n est croissante. Je me souviens qu'il faut passer par le logarithme et qu'il faut utiliser de la convexite, mais je ne sais plus comment m'y prendre. Quelqu'un aurait une indication ?

    -----

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  4. #2
    Thorin

    Re : Croissance de (1+1/n)^n

    sinon, un développement limité de (n+1)ln(1+a/(n+1)-n.ln(1+a/n) doit marcher pour prouver que c'est croissant, ou dériver.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #3
    God's Breath

    Re : Croissance de (1+1/n)^n

    La méthode que je considère comme la plus simple et la plus élégante.

    On considère les réels , .

    Leur moyenne géométrique est .

    Leur moyenne arithémique est .

    La classique inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique fournit :
    .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #4
    GogetaSS5

    Re : Croissance de (1+1/n)^n

    Sinon une preuve simple est d'étudier le logarithme de l'expression. Posons donc :



    En dérivant tu obtient :



    Avec le TAF, on remarque que f' est positive, donc f est croissante, et ta suite aussi.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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