Bonjour à tous
Alors voila j'ai un exercice à faire mais je ne comprends strictement rien. Merci à vous si vous pouviez me donner des indications.
J'ai bien réussi la 1ère question mais pour le reste, je ne vois pas du tout quoi faire.
Enoncé:
Soit A et B deux polynômes à coefficients entiers et premiers entre eux. Soit c ∈ ℤ* le résultant de A et B, on va calculer les polynômes U et V de l’identité de Bézout
A U + B V = c , deg(U)<deg(B), deg(V)<deg(A) (9)
par une méthode modulaire.
1. Montrer, en utilisant les formules de Cramer, que les coefficients de U et V sont des entiers de valeur absolue inférieure ou égale à la borne de Hadamard h de la matrice de Sylvester de A et B (dont le déterminant est c, le résultant de A et B). Calculer h en fonction de la norme euclidienne de A, B et de leurs degrés.
2. On calcule c ∈ ℤ* puis on résoud (9) dans ℤ/pi Z[X] pour plusieurs nombres premiers pi (choisis si possible inférieurs à √(2^31) pour des raisons d’efficacité), puis on calcule par le théorème des restes chinois (9) dans ℤ/∏pi Z[X]. Donner une minoration de ∏i pi faisant intervenir h qui permette de garantir que l’écriture en représentation symétrique de (9) dans ℤ/∏pi Z[X] est identique à (9) dans ℤ[X].
3. Application : résoudre de cette manière l’équation de Bézout pour
A=(X+1)^4(X−3), B=(X−1)^4(X+2)
(vous pouvez utiliser sans justifications l’instruction de calcul de résultant, des coefficients de Bézout dans ℤ/piZ[X] et de reste chinois de votre logiciel).
4. Écrire une fonction mettant en oeuvre cet algorithme.
5. Que pensez-vous de l’intérêt de cet algorithme par rapport à l’algorithme d’Euclide étendu dans ℤ[X]?
Merci beaucoup
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