fonction à 2 variables
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fonction à 2 variables



  1. #1
    invite340f0c11

    fonction à 2 variables


    ------

    Bonsoir,
    je comprends pas du tout un exercice:

    Montrer que f est une bijection de I dans J et déterminer (f^-1)'(y0 ) pour les valeurs de y0
    indiquées.
    1°) f(x)= racine de(x^3-1)+1 avec I=J=]1;+∞[ , yO décrivant tout J
    2°) f(x)=racine de(1+lnx), I, J à préciser, y0 décrivant tout J.
    3°) f(x)=x+exp(x) ,I=J = IR , y0 = 2 + exp(2),
    puis y0 = 1.

    Je comprends absolument rien ni meme mon cours

    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : fonction à 2 variables

    Bonjour.

    Sais-tu comment montrer qu'une fonction est bijective ? En gros, sais-tu ce que signifie le terme "bijective" ?

    Une fois que tu as montrer la bijection, tu peux exprimer x en fonction de y :
    y = f(x) <=> x = g(y) où g est la fonction réciproque de f souvent notée f-1.

    Duke.

    EDIT : ce ne sont pas des fonctions à deux variables.
    Déterminer I et J revient à déterminer l'ensemble de définition de f (pour I) et l'ensemble image par l'application f pour J

  3. #3
    invite340f0c11

    Re : fonction à 2 variables

    nan justement je ne sais pas comment le montrer
    j'ai pas bien compris comment tu as fait

  4. #4
    Duke Alchemist

    Re : fonction à 2 variables

    Bonjour.

    Pour la bijection : une piste ici.
    Une fonction est bijective si a chaque image y par l'application de f n'a qu'un unique antécédent x. On peut donc écrire y = f(x) et de manière équaivalent, on a x = f -1(y).

    Un autre exemple (que le tien) :
    Soit f définie sur dans par .
    Après avoir montré que sur cette intervalle f est bijective, tu peux exprimer de manière univoque x en fonction de y.





    Comprends-tu mieux maintenant ?

    Duke.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite340f0c11

    Re : fonction à 2 variables

    nan je comprends pas bien et j'arrive pas à voir ce qu'il faut que je fasse dans l'exercice

  7. #6
    invite340f0c11

    Re : fonction à 2 variables

    ce que je comprends pas moi c'est comment montrer que f est une bijection

  8. #7
    inviteaf48d29f

    Re : fonction à 2 variables

    Il y a plusieurs méthode. La première est de montrer qu'on peut écrire x en fonction de y de manière univoque comme l'a fait Duke Alchemist. Mais alors il faut tout de même faire très attention à l'unicité.

    Dans l'exemple de Duke, au moment où il passe de x²=y²+1 à x=√(y²+1) il a exclu la possibilité x=-√(y²+1) car il faut que x soit positif. Mais il faut faire attention qu'on ai bien le droit d'exclure une possibilité.

    La deuxième méthode consiste à utiliser le théorème de la bijection qui devrait être dans votre cours. Ça vous permettra d'affirmer qu'une fonction est bijective, par contre ça ne vous donnera pas son application réciproque, or vous en avez besoin.
    Quoi qu'il en soit pour affirmer qu'une fonction est bijective de I dans J deux intervalles il suffit que vous montriez la stricte monotonie de votre fonction et que les limites de f aux bornes de I sont les bornes de J.

    Ah oui, comme ce que vous devez donner comme réponse est la dérivée de l'application réciproque, je pense que cette formule vous sera utile :

  9. #8
    Bruno

    Re : fonction à 2 variables

    Citation Envoyé par linda23 Voir le message
    ce que je comprends pas moi c'est comment montrer que f est une bijection
    Une fonction f est bijective ssi elle est injective et surjective, càd ssi :

    - pour tout élément de dom f, f associe un élément de Im f distinct
    ET
    - pour chacun des éléments de Im f, f associe au moins un élément de dom f

  10. #9
    invite340f0c11

    Re : fonction à 2 variables

    je suis désolée j'arrive toujours pas à comprendre...ça me parait trop abstrait mais par exemple j'ai donc racine de 1+lnx
    par ou je dois commencer pour montrer qu'elle est bijective ? j'ai juste trouvé son ensemble de définition et je ne crois pas que c'est utile

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