fonction de 2 variables

[gcortex]

Bonjour,

par curiosité :

x et y sont indépendants et peuvent prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1

est ce que f = x+y-xy est compris entre 0 et 1 ?
si oui, comment le démontrer ???



merci
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[invite4e5046fc]

Bonjour,

Mieux qu'un encadrement entre 0 et 2 ; je n'en vois pas !

A1.

[inviteaf1870ed]

Deux méthodes, en écrivant la fonction sous la forme f(x,y)=x(1-y)+y :

1/ Si y est fixé, c'est une fonction croissante de x, car y<=1; donc son maximum est atteint pour x=1, et c'est 1. Son minimum pour x=0 et c'est y.

2/sous cette forme, c'est la moyenne entre x et 1, pondérée par y. Donc comprise entre x (pour y=0) et 1.

[gcortex]

Brillante démonstration
merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e5046fc]

Brillante démonstration

+1, j'approuve totalement,

A1.

[phys4]

Je trouve l’étude des fonctions f(x) très bien, une démonstration plus directe m’aurait plu aussi.
Je vous propose ceci :
remplacons les variables x, y par leurs compléments u = 1-x
et v = 1-y. nous obtenons x+y-xy = 1 - uv
Comme u et v sont compris entre 0 et 1, le produit uv aussi et le complément 1- uv également.

[invite2220c077]

Salut,

Autre démo :



D'un autre côté, d'après l'inégalité arithmético-géométrique :

[invitec317278e]

-Zweig-, on peut tout aussi directement écrire :

[invite2220c077]

Certes

[invite4e5046fc]

Un vrai régal !

Merci vous tous !

De nouvelles propositions ?