Ensembles non dénombrables

[invitebf1c7122]

Bonsoir. Pourriez-vous m'aider à trouver une piste pour la résolution de l'exercice suivant? Merci d'avance.

Exercice sur les ensembles

On note I l’intervalle réel [0 ;1] et S l’ensemble des applications de N* dans {0 ;1}.

- Montrer qu(il n’existe pas de surjection de N* dans S. On pourra raisonner par l’absurde : soit f une application de N* dans S ; pour tout i € N*, f(i) est une suite ; on la note f(i) = (sⁱ₁,..., s_nⁱ ,... )

Considérer alors la suite n donne 1- sⁿ_n, pour n ≥ 1

Dans toute la suite on désigne par h l’application de S dans I définie par s=
∞
∑ (( s_k )/2^k )
k=1

- Montrer que h est bien définie

- Montrer que l’application g de I dans S, définie par g(x) = (a₁, ..., a_n,... ) est une injection (on pourra considérer h o g).

- Vérifier qu’elle n’est pas surjective.

On note S’= g(I). Déterminez explicitement l’ensemble T = S \ S’.

- Montrer que cet ensemble est infini dénombrable.

- Montrer que si S’ était dénombrable alors S le serait aussi.

- Déduire de tout ceci que I n’est pas dénombrable.
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[Thorin]

Montrer qu(il n’existe pas de surjection de N* dans S. On pourra raisonner par l’absurde : soit f une application de N* dans S ; pour tout i € N*, f(i) est une suite ; on la note f(i) = (si1,..., sni ,... )

Considérer alors la suite n donne 1- snn, pour n ≥ 1

Voici ce qui me vient à l'esprit :

la suite n donne est à valeur dans {0,1}, c'est donc l'image d'un naturel par l'application f (surjectivité).

ainsi, il existe k tel que
or, on a aussi .

alors, en identifiant, on a , etc...
oui, mais si on va assez loin, ça signifie : !!! ce qui est absurde.

Je ne sais pas si la rédaction convient à tes exigences, mais ça donne, sauf erreur de ma part, l'idée à suivre.

[Thorin]

- Montrer que h est bien définie

étant donné qu'il est clair qu'ici, une suite ne peut avoir 2 images, il me semble que ce qui est demandé est d'établir la convergence de la série, ce qui est évident, elle est majorée par la série des inverses des puissances de 2.

- Montrer que l’application g de I dans S, définie par g(x) = (a1, ..., an,... ) est une injection (on pourra considérer h o g).

si tu montres que hog est injective, t'as gagné ! je ne sais pas si c'est vrai mais l'énoncé a l'air de sous entendre que oui.
Le problème est que tu ne donnes aucune indication sur les , et sans indication, jvois pas comment dire quoi que ce soit...

[Médiat]

étant donné qu'il est clair qu'ici, une suite ne peut avoir 2 images, il me semble que ce qui est demandé est d'établir la convergence de la série, ce qui est évident, elle est majorée par la série des inverses des puissances de 2.

Et que cette limite est dans [0 ; 1], ce qui est tout aussi évident.

si tu montres que hog est injective, t'as gagné ! je ne sais pas si c'est vrai mais l'énoncé a l'air de sous entendre que oui.
Le problème est que tu ne donnes aucune indication sur les , et sans indication, jvois pas comment dire quoi que ce soit...

Je suppose que les représente la partie "décimale" du développement binaire propre de x, et donc hog(x) = x . Sauf que j'ai un problème avec 1 (g(1) n'est pas défini ou égal à g(0))

- Vérifier qu’elle n’est pas surjective.

g n'est pas surjective, car la suite définie par (par exemple) n'est un développement propre et donc ne peut être atteinte pas g (0,1 = 1, mais g(1) n'existe pas (le 1 représente la période)). D'une façon générale, toutes les suites qui se terminent (à la beauté de l'infini actuel ) que par des 1 (les développements impropres) ne sont pas atteintes, puisque c'est le développement propre qui est atteint.
Je donne un autre exemple :
x= 0,1
g(x) = la suite définie par
or la suite définie par , si elle était dans l'image serait l'image de 0,01 c'est à dire de 0,1, ce qui n'est pas le cas.

On note S’= g(I). Déterminez explicitement l’ensemble T = S \ S’.
- Montrer que cet ensemble est infini dénombrable.

T est donc l'ensemble des suites qui correspondent à des développements impropres qui eux-mêmes correspondent à des nombres dont le développement propre est fini (c'est à dire les suites à support fini) qui est dénombrable ; pour le démontrer, la bijection entre IN et les suites de 0 et de 1 à support fini est assez évidente, non ?

Les deux dernières questions sont triviales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf1c7122]

Merci pour vos réponses.
Cependant, une question me pose problème: je ne comprends pas comment montrer que T = S \ S’ est un ensemble infini dénombrable. Je ne vois pas la bijection entre N et l'ensemble des suites d'éléments 0 et 1 qui ne sont pas les images d'éléments de I par g. Pourriez-vous m'aider?

[Médiat]

Merci pour vos réponses.
Cependant, une question me pose problème: je ne comprends pas comment montrer que T = S \ S’ est un ensemble infini dénombrable. Je ne vois pas la bijection entre N et l'ensemble des suites d'éléments 0 et 1 qui ne sont pas les images d'éléments de I par g. Pourriez-vous m'aider?

T est donc l'ensemble des suites qui correspondent à des développements impropres qui eux-mêmes correspondent à des nombres dont le développement propre est fini (c'est à dire les suites à support fini) qui est dénombrable ; pour le démontrer, la bijection entre IN et les suites de 0 et de 1 à support fini est assez évidente, non ?

A quoi ressemble une suite de 0 et de 1 à support fini ?
000110101010111001011100100000 000000000000000...0000000...
ou encore
00011010101011100101110010
Tu ne vois pas un entier pair auquel on peut faire correspondre cette suite ?
Une indication : ajoute un 1 devant la suite.

[invitebf1c7122]

J'ai oublié de préciser que la suite (a₁,...,a_n ,...)correspond au développement binaire.
Je n'arrive pas à comprendre ce que représente concrètement T.
Je ne vois pas non plus la bijection entre N et cet ensemble. Par exemple, si je considère la suite 0001101010101110010111001000.. ., et que je lui associe dans N le nombre correspondant 1101010101110010111001000..., ce ne sera pas une bijection, car les réels comportant d'autres chiffres que 1 et 0 ne seront pas atteints.

[Médiat]

Je n'arrive pas à comprendre ce que représente concrètement T.

T est l'ensemble des suites qui ne sont pas des développements binaires d'un réel compris entre 0 et 1

Je ne vois pas non plus la bijection entre N et cet ensemble. Par exemple, si je considère la suite 0001101010101110010111001000.. ., et que je lui associe dans N le nombre correspondant 1101010101110010111001000..., ce ne sera pas une bijection, car les réels comportant d'autres chiffres que 1 et 0 ne seront pas atteints.

Comporter d'autres chiffres aue 0 et 1 dans un développement binaire, c'est assez rare .

La bijection que je propose est :
à la suite 0001101010101110010111001000.. . (que des 0 à partir d'un certain rang) on fait correspondre 10001101010101110010111001.

On peut aussi partir directement des développement impropres
à la suite 000110101010111001011100111111 ... (que des 1 à partir d'un certain rang) on fait correspondre 1000110101010111001011101

[invitebf1c7122]

Mais si à la suite 000110101010111001011100111111 ... (que des 1 à partir d'un certain rang) on fait correspondre 1000110101010111001011101 , ce n'est pas une bijection dans N, car tous les éléments de N ne sont pas atteints?
pour créer une bijection ,on pouurait associer par exemple à 01001111111... la suite 01001 et à cette suite on associe le "symétrique" :10010 et on considère ce nombre comme l'écriture dans la base 2 d'un entier, par exemple 10010 représente 18.
Mais cette bijection est-elle juste, y-a t'il plus simple?

[Médiat]

Mais si à la suite 000110101010111001011100111111 ... (que des 1 à partir d'un certain rang) on fait correspondre 1000110101010111001011101 , ce n'est pas une bijection dans N, car tous les éléments de N ne sont pas atteints?

On atteint que les impairs, mais une bijection entre IN et les impairs est assez simple à trouver.

[invitebf1c7122]

Dans toute la suite de l'exercice, on note T'=h(T)
1) Il faut d'abord montrer que tout élément de I qui est irrationnel admet un unique antécédent par h.
Pour tout x appartenant à T' on considère la suite de réels n donne u^x_n définie pour tout n appartenant à N par
u^x_n=x*((1/√2) + (1-(1/√2))*(1/(n+1)))

2) Montrer que tout x appartenant à T' et pour tout n appartenant à N, on a : u ₀^x = x et u ^x_n appartenant à I

3) Montrer que pour tout x, y appartenant à T' (x différent de y entraîne (pour tout n, p appartenant à N, u ^x_n non égal à u^y_p))
(on pourra utiliser le fait que √2 est irrationnel)
On note:
A = S \ U {h^-1(u^x_n)}
xdsT',
n ds N
en convenant que si x appartenant à T', alors h^-1(x) désigne l'antécédant de x par h qui appartient à T. On pose alors
Pour tout x appartenant à A, f(x) = x et pour tout n appartenant à N, pour tout x appartenant à T', f (h^-1(u^x_n+1)) = h^-1(u^x_n).

4) Montrer que f ainsi définie est une application de S' dans S, et qu'elle est bijective.

5)Déduire de tout ceci que I et S sont équipotents.

6) Montrer que I est équipotent à l'ensemble des parties de N.

Pourriez-vous m'aider, surtout pour les questions 1.3.4.6.? Merci d'avance. (pour la 1, je pense qu'il faut supposer qu'il existe deux antécédents par h puis prouver que ces deux antécédents sont égaux, mais je n'y parviens pas.)