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Ensembles dénombrables



  1. #1
    Big Bang Theory

    Arrow Ensembles dénombrables


    ------

    Bonjour ,

    L ensemble des nombres pairs est-il dénombrable ?
    Meme question pour les nombres pairs positifs ?
    Si oui quelle(s) est (sont) le(s) bijection(s)

    Merci infiniment

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Ensembles dénombrables

    Les bijections sont tout simplement et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    Médiat

    Re : Ensembles dénombrables

    On peut aussi dire que ce sont des sous-ensembles infinis d'un ensemble dénombrable, donc ils sont dénombrables, inutile d'exhiber la bijection (sauf si cela fait partie de l'énoncé d'un exercice qui le demande explicitement).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    Médiat

    Re : Ensembles dénombrables

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Les bijections sont tout simplement et .
    Vu la question j'ai l'impression que c'est les relatifs l'ensemble de référence, ta première bijection convient, mais pas la deuxième.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Big Bang Theory

    Re : Ensembles dénombrables

    Ok merci beaucoup c est bien ce que je pensais mais cette notion d ensemble dénombrable me semble abstraite, car les réels ok je peux admettre qu il n y a pas de bijection avec les naturels mais pour les rationnels je ne vois pas comment on pourrait faire une bijection avec les naturels. Y a t il un rapport avec le fait que Q est dense dans R ?

    Merci bcp

    PS : et pour la bijection des nombres pairs positifs ne serait elle pas n----->|2n|

  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Ensembles dénombrables

    si tu admets qu'une partie infinie d'un ensemble infini dénombrable est dénombrable, alors c'est facile de voir que Q est dénombrable, puisque tu peux le voir comme une partie de ZxZ. Et montrer que ZxZ peut être mis en bijection avec N est facile: il suffit de parcourir un verger en partant d'un arbre et en décrivant une spirale

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  10. #7
    Big Bang Theory

    Re : Ensembles dénombrables

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    Et montrer que ZxZ peut être mis en bijection avec N est facile: il suffit de parcourir un verger en partant d'un arbre et en décrivant une spirale
    Alors là ......... MON DIEU

  11. #8
    jobherzt

    Re : Ensembles dénombrables

    Si tu preferes, voici une injection de ZxN (qui contient evidemment Q) dans Z : Prends tes deux nombres premiers preféré, par exemple 2 et 3, et regarde l'application



    Par l'unicité de la decomposition en facteurs premiers, cette application est injective, donc ZxN est "inclus" dans Z, donc est denombrable. Donc Q aussi.

  12. #9
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Ensembles dénombrables

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    On peut aussi dire que ce sont des sous-ensembles infinis d'un ensemble dénombrable, donc ils sont dénombrables, inutile d'exhiber la bijection (sauf si cela fait partie de l'énoncé d'un exercice qui le demande explicitement).
    Et le paradoxe de Skolem qui démontre le contraire ?

    Patrick

  13. #10
    Médiat

    Re : Ensembles dénombrables

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Et le paradoxe de Skolem qui démontre le contraire ?
    Non puisque des sous ensembles d'un ensemble dénombrable sont soit finis soit dénombrables, que l'on soit dans un modèle dénombrable ou non (à moins de changer les sens du mot dénombrable à l'intérieur d'une même phrase, moyenant quoi, on peut effectivement tout dire).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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