Ensembles dénombrables

[invitefb652165]

Bonjour ,

L ensemble des nombres pairs est-il dénombrable ?
Meme question pour les nombres pairs positifs ?
Si oui quelle(s) est (sont) le(s) bijection(s)

Merci infiniment
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[invite57a1e779]

Les bijections sont tout simplement et .

[Médiat]

On peut aussi dire que ce sont des sous-ensembles infinis d'un ensemble dénombrable, donc ils sont dénombrables, inutile d'exhiber la bijection (sauf si cela fait partie de l'énoncé d'un exercice qui le demande explicitement).

[Médiat]

Les bijections sont tout simplement et .

Vu la question j'ai l'impression que c'est les relatifs l'ensemble de référence, ta première bijection convient, mais pas la deuxième.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefb652165]

Ok merci beaucoup c est bien ce que je pensais mais cette notion d ensemble dénombrable me semble abstraite, car les réels ok je peux admettre qu il n y a pas de bijection avec les naturels mais pour les rationnels je ne vois pas comment on pourrait faire une bijection avec les naturels. Y a t il un rapport avec le fait que Q est dense dans R ?

Merci bcp

PS : et pour la bijection des nombres pairs positifs ne serait elle pas n----->|2n|

[invite986312212]

si tu admets qu'une partie infinie d'un ensemble infini dénombrable est dénombrable, alors c'est facile de voir que Q est dénombrable, puisque tu peux le voir comme une partie de ZxZ. Et montrer que ZxZ peut être mis en bijection avec N est facile: il suffit de parcourir un verger en partant d'un arbre et en décrivant une spirale

[invitefb652165]

Et montrer que ZxZ peut être mis en bijection avec N est facile: il suffit de parcourir un verger en partant d'un arbre et en décrivant une spirale

Alors là ......... MON DIEU

[invitebe0cd90e]

Si tu preferes, voici une injection de ZxN (qui contient evidemment Q) dans Z : Prends tes deux nombres premiers preféré, par exemple 2 et 3, et regarde l'application



Par l'unicité de la decomposition en facteurs premiers, cette application est injective, donc ZxN est "inclus" dans Z, donc est denombrable. Donc Q aussi.

[invite6754323456711]

On peut aussi dire que ce sont des sous-ensembles infinis d'un ensemble dénombrable, donc ils sont dénombrables, inutile d'exhiber la bijection (sauf si cela fait partie de l'énoncé d'un exercice qui le demande explicitement).

Et le paradoxe de Skolem qui démontre le contraire ?

Patrick

[Médiat]

Et le paradoxe de Skolem qui démontre le contraire ?

Non puisque des sous ensembles d'un ensemble dénombrable sont soit finis soit dénombrables, que l'on soit dans un modèle dénombrable ou non (à moins de changer les sens du mot dénombrable à l'intérieur d'une même phrase, moyenant quoi, on peut effectivement tout dire).