Récurrence dans la résolution d'une équation différentiel à l'aide des séries entières

[invite2cc04abc]

bonjour à tous

Ma question concerne maintenant les récurrence lors de la résolution d'une équa diff à l'aide des séries entières, morceau le plus difficile à mon goût pour cette résolution.
voici un exemple que je ne comprends pas. Le correcteur parle de récurrence facile , sans donner d'explications et je ne vois pas du tout comment on fait. Si vous pouviez m'expliquer comment on arrive a ce résultat, et plus généralement quelles sont les astuces pour trouver la relation de récurrence, ce la m'aiderai beaucoup


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[invite7ffe9b6a]

Bonjour,
on veut montrer par récurrence que , on a


Initialisation:
n=1;

on a don vrai au rang 1.

heredité: supposons le resultat vrai au rang n

alors on a

or



donc vrai au rang n => vrai au rang n+1.

Donc vrai pour tout n

[invite57a1e779]

Et sans récurrence :

, donc et la suite de terme général est constante de premier terme .
On a donc, pour tout , , et .

[invite2cc04abc]

eh ben, il fallait le voir ça ! c'est pas aussi évident que ça :s en tout cas merci de l'explication, mais je ne crois pas être capable de trouver des relation de récurrences comme ça. Et pourtant, sans cette étape on ne peut pas terminer la résolution de l'équa diff :/ il va me falloir un peu d'entraînement

Merci pour l'explication

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Pour trouver la formule, quand on ne voit pas directement comment faire apparaitre de suite constante, on peut procéder ainsi :


ensuite, on multiplie les lignes, et on observe que tous les se simplifient, et il reste :

[invite2cc04abc]

ah oui je me rappelle maintenant de cette méthode en cascade vu l'année dernière dans certaines démonstrations. Merci bien ( et bonne chance pour tes concours par la même occase, je vois que tu es en MP ^^ )

[invite2cc04abc]

J'ai à nouveau besoin de votre aide pour une nouvelle recherche de relation de récurrence. J'ai bien compris l'astuce pour le terme suivant qui dépend directement du terme précédent, mais là je suis tombé sur un exo ou le terme suivant dépend du terme suivant le précédent, et cela redevient de nouveau flou ^^ Je vois qu'il y a une histoire de termes paires et impaires, mais bon je n'arrive pas trop à m'en sortir. Merci à vous pour votre aide précieuse

[invitec317278e]

Tu peux refaire la même chose, avec la cascade, mais en prenant uniquement les termes d'indices pairs, ou uniquement les termes d'indice impair.

Ceci dit, le fait que la suite des termes d'indice impair est nulle est complètement évident...