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Résolution d'une équation dans C




  1. #1
    14bds75_cb
    Bonjour,
    J'ai à résoudre dans C l'équation suivante:
    (z+1)^3 = (z-1)^3
    Cela revient donc à determiner les nombres complexes Z qui vont satisfaire l'équation.

    J'ai pensé faire le raisonnement suivant:
    * Je pose Z = a+ib
    (z-1)^3 =
    Le soucis, est que je ne vois vraiment pas comment dévlopper [(1+a) + i]^3... j'ai donc laisser tomber cette solution pour en tester une autre.

    * On a (z+1)^3 = (z-1)^3
    Donc cela me donne: (z+1)^3 / (z-1)^3 = 1
    Donc [ (z+1)/ (z-1) ]^3 = 1
    Ce qui est entre crochet est appelé U3 (je choisit de faire ainsi )
    J'ai donc u3 = 1
    Sous la forme exponentielle, cela donne:
    u3 = p^3 . e^(i3m)

    p^3 = 1
    m = 2Kpi / 3

    Comme j'ai :
    U = (Z+1) / (z-1), j'ai donc Z = (U+1)/(U-1)
    Au final, j'ai donc 3 solutions Zk, tel que:

    Zk = (Uk + 1)/(Uk - 1), avec k allant de 0 à 2.

    Est-ce que mon raisonnement vous semble cohérent ?
    Merci de votre aide

    -----


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  3. #2
    Coincoin
    Ca m'a l'air bon... faut juste préciser avant de diviser par (z-1)^3 que 1 n'est pas solution!

  4. #3
    Jack
    salut,

    pourquoi ne pas développer (z+1)^3 = (z-1)^3

    si je ne me trompe pas ça donne:
    z^3 + 3z^2 + 3z + 1 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1

    ce qui se simplifie: 3z^2 + 1 = - 3z^2 - 1 donc 3z^2 + 1 = 0

    z^2 = -1/3 et on obtient donc 2 racines complexes
    z = i/rac(3) et z = -i/rac(3)

    A+


  5. #4
    Coincoin
    En effet, c'est une méthode un peu plus fine (mais qui ne doit pas marcher dans le cas général (az+b)^n=(cz+d)^n)... cette méthode a un grand avantage: elle permet de mettre en évidence les erreurs que 'lon avait pas vu avant!!! En effet on obtient 2 solutions et non plus 3...
    14bds75_cb, je te laisse regarder la tête de la solution z0 (sachant que z0=(u0+1)/(u0-1) avec u0=1 )

  6. #5
    14bds75_cb
    salut les amirs !
    MErci à vous c'est super sympa
    Amitiés

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