determinant d'une application lineaire particuliere

[invite77420056]

bonjour à tous

quelqu'un peut il me dire comment calculer le determinant de l'application lineaire qu'est la fonction lineaire f(x)=5x, sans utiliser le point de vue matriciel.

merci par avance
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[God's Breath]

Bonjour jonh35,

Je pense vraiment que tu te focalises sur un problème qui n'en vaut pas la peine...

Soit une base de l'espace vectoriel sur lequel est définie .

Pour toute famille d'éléments de , on a :

donc .

En fait, on commence par remarquer que est une forme -linéaire alternée, d'où l'existence d'un scalaire , qui dépend a priori de l'application linéaire et de la base , tel que, pour tout , on ait :
.

Dans un deuxième temps, on démontre que ne dépend pas de la base , mais de seulement, ce qui permet de définir le déterminant de l'application linéaire.

Cette construction n'est pas pour autant intrinsèque : on calcule le déterminant dans une base, bien qu'il soit indépendant de la base...

Si la famille est liée, il en est de même de la famille , donc et la relation est triviale.

Si la famille est libre, donc est une base de vu le nombre d'éléments, alors et on a .

En pratique, il suffit donc de faire le calcul sur une base, c'est-à-dire de considérer la matrice de dans cette base pour calculer le déterminant.

[invite77420056]

et y a t il d'autres façon de calculer le determinant d'une application lineaire?

[Thorin]

Le point de vue matriciel !!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Si est une base de , alors
– , donc ;
– la matrice de dans la base est celle des vecteurs dans la base , donc .

Comme la définition de demande le calcul du déterminant dans une base, on est toujours ramené au calcul du déterminant de la matrice de dans cette base...