5 points et hop ! une conique... ?

[inviteb7283ac9]

Bonjour,

Ma question est :
on prend 5 points distincts du plan A,B,C,D,E
on rappelle que aX²+bXY+cY²+dX+eY+f=0 est l'équation générale d'une conique
on obtient l'équation de la conique passant par ces 5 points en "ecrivant"


Mais est-on certain d'obtenir toujours ainsi l'equation d'une conique ?

J'ai regardé un peu sur internet,et souvent on suppose que les points ne sont pas 3 à 3 alignés. Mais je ne vois pas les conséquences que cette hypothese aurait sur le determinant : on n'aurait pas d'équation de conique si le determinant est égal à une constante (notamment 0). Ce qui signifie qu'il y existerait une combinaison linéaire entre des lignes. Mais je n'ai pas repéré celle-ci. Existe-t-elle ?

P.S : De plus,à priori, rien n'interdit que la conique soit 2 droites sécantes...

Merci de votre collaboration
-----

[invitea3eb043e]

Oui, ça donne toujours une conique, éventuellement dégénérée en 2 droites, coniques éventuellement complexes, par exemple x² + y² + R² = 0.
Pour connaître la nature de la conique, on regarde les points à l'infini en ne gardant que les termes du second degré, en regardant si y/x est réel ou pas.

[inviteb7283ac9]

Donc on se fiche de l'alignement ou non des 3 points. On avance.
Mais comment justifier le fait que le determinant soit non nul ? (c'est-à-dire justifier le Oui, ça donne toujours une conique)