Principalité de Z sans son euclidianité

[invite7c6483e1]

Bonjour à tous,
petite question comme ça... Est-il possible de montrer que tout sous groupe de (Z,+) est monogène sans passer par la division euclidienne?

merci !
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[invite986312212]

je ne sais pas mais on peut toujours tricher:

soit A un idéal de Z non réduit à {0}, et soit a le plus petit élément strictement positif de A. Il en existe nécessairement un car si x est négatif, -x est positif (je ne sais pas comment on montre ça du reste). Alors l'ideal (a) de Z est égal à A. En effet, soit b dans A. Si b=na, b est dans (a), sinon, on considère l'ensemble des ka tels que ka<b. Il a un plus grand élément, soit n et 0<b-na<a appartient à A, contradiction.

on n'a pas écrit le mot "division" mais bon...